"ALBERO DI PITAGORA"

Il frattale è una figura complessa di grande bellezza estetica che può essere rappresentata grazie all’ausilio e alle potenzialità dei computer grafici attraverso un’equazione matematica “iterativa” cioè che ritorna su sé stessa includendo il risultato ottenuto nella successiva equazione. Grazie alla elaborazione del computer, ne derivano figure geometriche e colori di una bellezza sorprendente
“ALBERO DI PITAGORA” spirale di Bosman del 1957, (La geometria nel pianeta) costruita sul sistema binario.

Un quadrato ha un lato in comune con un triangolo rettangolo isoscele, che a sua volta ha gli altri due lati in comune con altri due quadrati e così via. La somma delle aree dei due quadrati più piccoli, per il teorema di Pitagora, è uguale all'area del quadrato iniziale e così anche le aree dei quadrati che si formano nei passaggi successivi, sommate, daranno l'area del primo quadrato. Si può avere un albero asimmetrico semplicemente costruendo un triangolo rettangolo qualsiasi sul lato del primo quadrato

La forma avvolta non è altro che una spirale logaritmica

Si possono creare infinite spirali partendo dai quadrati. L'albero di Pitagora è un buon esempio di frattale matematico.
Vi sono anche frattali a forma di stella, costruiti per esempio con una linea chiusa e successivi segmenti che si incrociano tutti con lo stesso angolo.

Altri esempi....e sempre Pitagora

I frattali con le loro forme misteriose ed affascinanti suscitano al nostra meraviglia e ci colpiscono innanzitutto per la loro bellezza.
Miracolose figure geometriche della natura prime fra tutte la spirale a cui si interessò già Archimede, e su cui scrisse anche un trattato “Sulle Spirali”
DNA, nucleo cellulare che è costituito da una lunga catena a spirale, e che riporta l'intero codice genetico.
L’ammonite forma di un organismo vissuto 300.000.000 di anni fa.
GALASSIA a spirale tra cui la nostra via Lattea = è costituita da un nucleo denso di stelle vecchie quanto la galassia attorno a cui orbitano le altre stelle. Le braccia di spirale dipartono dal centro della galassia formando un disco del diametro di 100.000 anni luce. I bracci di spirale contengono le stelle più giovani, da poche decine di milioni a qualche miliardo di anni. I bracci di spirale non contengono solo stelle ma anche gas e polveri. Il sole si trova alla periferia della galassia, a circa 28.000 anni luce dal centro ed impiega 250.000.000 di anni per descrivere un’orbita completa attorno al centro della Via Lattea. Forse fra poco potremmo dire anche addio all’idea che l’universo sia nato dal big bang come singola palla di fuoco. Studiosi stanno esplorando una nuova teoria basata sull’ipotesi, enunciata ormai 15 anni fa, che l’universo abbia attraversato uno stadio di inflazione. La teoria afferma che durante questo stadio, il cosmo si ampliò esponenzialmente in una infinitesima frazione di secondo, dopo di che l’Universo continuò la propria evoluzione secondo il modello del big bang. Via via che gli studiosi hanno perfezionato lo scenario dell’ inflazione, sono venute in luce alcune conseguenze sorprendenti, una della quali rappresenta un cambiamento
fondamentale nella visione del cosmo. Secondo le versioni più recenti della teoria inflazionarla l’universi anzichè essere una palla di fuoco in espansione sarebbe un immenso frattale che cresce continuamente…esso sarebbe costituito da molte sfere che si rigonfiano, le quali producono nuove sfere che a loro volta ne generano altre, all’ infinito.
Le spirali sono anche alla base dei frattali.
La spirale è una figura geometrica, un frattale molto semplice costituita da una linea che ruota attorno ad un centro e mano a mano si allontana da esso. Si può dire che le spirali siano alla base dle mondo vivente

Se poi pensiamo che “tutto” il nostro corpo può essere considerato “un frattale noi stessi siamo la dimostrazione dell’esistenza di questa armonia universale di cui parlava Pitagora.
FISIOLOGIA UMANA: la geometria frattale si può applicare anche nel campo biologico scientifico, un frattale infatti consiste di frammenti geometrici di grandezza ed orientamento variabili ma con forma simile. Nel corpo umano: neuroni, fibre nervose, muscolo cardiaco, vasi sanguigni, intestino, albero bronchiale. Strutture anatomiche di tipo frattale che fanno da supporto a funzioni diversi in organi diversi ma hanno in comune tratti fisiologici e strutturali. Ramificazioni o ripiegature frattali amplificano enormemente la superficie disponibile per l’assorbimento (intestino), per l’elaborazione delle informazioni (reti di neuroni), e per la distribuzione e della raccolta dei soluti (vasi sanguigni, dotti biliari e albero bronchiale). Se si pensa che la capacità respiratoria di un animale è direttamente correlata alla superficie dei suoi polmoni, e che questi in un individuo normale, occupano uno spazio grande quasi come un campo da tennis, si comprende quanto efficace sia stata la scelta frattale fatta dalla natura per lo sviluppo dei nostri organi.
NEURONI; hanno una struttura simile ai frattali, se si esaminano a basso ingrandimento si possono osservare ramificazioni asimmetriche (i dendriti) connesse con i corpi cellulari, a ingrandimento leggermente superiore si osservano ramificazioni più piccole a partire da quella più grandi e così dicendo. Anche se la ramificazione dei neuroni ad un certo punto si ferma, i frattali ideali possiedono infiniti dettagli, il fatto più notevole è che questi ultimi ad una certa scala sono simili (seppur non necessariamente identici) a quelli della struttura vista ad ingrandimento maggiore o minore.
CUORE: centro funzionale dell’apparato circolatorio, è un muscolo striato involontario dalle dimensioni di una grossa mela che pompa 5 litri di sangue al minuto. Nel cuore, le strutture frattali hanno un ruolo vitale nella meccanica della contrazione e nella condizione dello stimolo elettrico eccitatorio, per esempio una rete frattale di arterie e vene coronarie trasporta sangue da e verso il cuore. La geometria frattale è usata per spiegare alcune anomalie nelle modalità del flusso sanguigno coronario, la cui interruzione può causare l’infarto miocardio. Inoltre un intreccio frattale di fibre di tessuto connettivo all’ interno del cuore lega le valvole mitrale e tricuspide al muscolo sottostante, se questi tessuti dovessero rompersi vi sarebbe un forte rigurgito di sangue dai ventricoli agli atrii, seguito da insufficienza cardiaca.
Intricatissima microrete dei vasi capillari
ARTE : armonia e bellezza e frattali
L’equilibrio di proporzioni fra le parti è molto importante nelle opere d’arte. Il segreto della bellezza e dell’armonia della facciata di Santa Maria Novella Firenze risiede nella rigorosa grigia di proporzioni che lega le parti tra loro e queste all’insieme. La facciata si inscrive in un quadrato avente il lato che coincide con la linea di base della chiesa. Suddividendo questo quadrato in 16 parti si scandiscono le sezioni fondamentali della facciata, la zone inferiore, l’ordine superiore, gli ingressi. Spartendo ancora questi quadrati in quadrati ancor più piccoli (1/16 del quadrato di partenza) si vengono a determinare le altre misure dell’edificio.

Cosa significa frattale?

Il termine (coniato da Mandelbrot nel libro del 1975 “Gli oggetti frattali”) deriva dal latino FRACTUS = rotto, spezzato come il termine frazione

FRATTALI - MATEMATICA - ARMONIA

Il frattale è l’ultima dimostrazione di quella magica armonia che governa tutto l’universo.
Che la natura sia scritta e disegnata con leggi matematiche non è un fatto nuovo e già Galileo ne faceva il punto cardine della sua visione dell’ Universo.
È sufficiente guardarsi intorno per scoprire quante entità "autosimili" siano presenti nel nostro mondo: un cavolfiore e le sue infiorescenze, una nuvola, le coste di un'isola, alcuni organi del corpo umano
Rappresentano bene il connubio tra bellezza, arte e scienza. Partendo dallo studio delle proporzioni notiamo che nell’arte ed in natura esistono tantissime strutture, opere d’arte, piante…in cui il concetto di proporzione è presente, cioè le proporzioni sono alla base dell’armonia e bellezza del mondo
Tantissimi oggetti della natura, molti più di quelli che pensiamo (alberi, montagne, nuvole, foglie, felci, erbe, fiori…di tutti i tipi e di tutte le dimensioni) hanno forme complesse, irregolari, frastagliate, frammentate che rispecchiano curiose proprietà geometriche.
Forme che non corrispondono agli assiomi ed alla geometria euclidea che studiamo a scuola fatta di rette, cerchi, cubi, poligoni, poliedri più o meno regolari…questi enti geometrici esistono solo nella mente dei matematici e per descrivere la natura sono inadeguati.
In natura esistono figure matematiche dotate di dimensioni frazionate e non intere.
Ecco perché sentiamo spesso dire che la geometria è fredda e arida…Perché incapace di descrivere le forma di una nuvola, una montagna, una linea costiera, una pianta…Le nuvole non sono sfere, le coste non sono cerchi, ), le montagne non sono coni, il fulmine non si propaga in maniera lineare ma oggetti geometricamente molto complessi (Mandelbrot)
La cosa più sorprendente dei frattali è il fatto che sono largamente presenti in natura quasi si trattasse di una sorta di linguaggio naturale.
ABETE: l’ albero in natura è l’esempio a noi più familiare di frattale …ad un’attenta osservazione notiamo che ogni ramo è simile all’intero albero ed ogni rametto è simile al proprio ramo…
FELCE: anche qui notiamo che una parte della felce è simile alla felce stessa…la parte è una copia in piccolo della foglia completa. Se prendessimo parti sempre più piccole potremmo procedere all’infinito e trovare sempre copie esatte della felce “madre”.
MONTAGNA: a distanza vediamo la montagna nel suo insieme se poi, da vicino, osserviamo una piccola roccia, vediamo che questa presenta delle caratteristiche strutturalmente simili a quelle dell'intera montagna
Conclusione: una parte dell’oggetto è simile al tutto…sono oggetti autosimili
Se consideriamo che la felce è un oggetto geometrico allora il collegamento con la matematica è diretto…come tale può essere espressa attraverso una formula matematica…I frattali possono essere costruiti seguendo precise regole matematiche.
Cosa sono dunque i frattali? Stranissimi enti matematici…
In realtà è molto difficile definirli, visto che ne esiste una grande varietà ed ognuna ha proprie caratteristiche…lo stesso Mandelbrot, matematico francese, padre fondatore della teoria dei frattali (ed inventore del famoso insieme che porta il suo nome) non ne dà una definizione matematica ma ne fornisce solo una definizione approssimativa ed intuitiva. Il frattale è un concetto difficile se lo si vuole esprimere matematicamente, ma se vogliamo realizzarlo con un disegno e servirci dell’arte allora ci accorgiamo che l’idea non è complicata.
ARIETE: PITAGORA è del segno del’ariete…se si pensa all’ariete e poi a Pitagora al massimo si può immaginare che tra i due ci sia una relazione astronomica. Guardando l’ariete non sembra
proprio che abbia qualche connessione con Pitagora ed il suo teorema. Però se disegnamo un triangolo rettangolo ed i quadrati sui tre lati, ed ancora un triangolo simile al primo sui due cateti e ancora e ancora…ci accorgiamo che adesso l’ariete e Pitagora hanno qualcosa in comune, la spirale pitagorica. Dal teorema di Pitagora si è visto che la rappresentazione grafica di questo teorema e giocando con esso si può costruire una figura completamente diversa che assomiglia alle corna di un ariete; la spirale pitagorica.
Frattali in matematica, astronomia, arte, biologia, tradizioni.
In ogni caso sono frattali gli oggetti o figure geometriche (come il cerchio, triangolo)che rispondono a queste 4 caratteristiche, cioè possiedono alcune proprietà diverse:.
1) oggetti che presentano la caratteristica di autosimilarità (self-similarity)… a qualunque scala si osservi, l’oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali. L’oggetto è l’unione di parti che ingrandite riproducono tutto l’oggetto…cioè l’oggetto si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse…è l’unione di copie identiche di sé stesso a scale differenti (continuamente ridotte)…cioè non cambia aspetto anche se visto con una lente d’ingrandimento si ripete all’infinito.
Infinite interazioni, trasformazioni nelle quali si conserva il particolare motivo geometrico.
2) sono oggetti che contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica se vengono ingranditi non perdono dettagli ma anzi si arricchiscono di nuovi particolari…rivelano nuovi dettagli.
3) irregolari cioè non soddisfano semplici condizioni geometriche ed analitiche.
4) l’autosimilarità è maggiore della dimensiona topologica…cioè la loro dimensione non è intera ma sono considerati dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria. Un’altra sua caratteristica è la dimensione. Il frattale occupa una superficie compresa entro limiti…quindi la sua area è definita, ma ha un perimetro infinito…cioè la lunghezza della linea che delimita l’area è infinita.
Mandelbror si chiede “Quanto è lunga la dimensione della costa della GranBretagna?”…dimostrò che la lunghezza dei vari tratti poteva continuare all’infinito scendendo su una scala sempre più piccola e non trovò una risposta definitiva ma riuscì a definire un numero compreso tra 1 e 2 che identificava il frastagliamento della costa. Più la linea della costa era frastagliata e più questo numero frazionario si avvicinava a 2. Mandelbrot dimostrò che questo numero conteneva delle proprietà di una dimensione che chiamò “dimensione frattale”. La geometria frattale fa di questi casi che sfidano la norma i fondamenti di una nuova matematica delle forme, il punto di partenza di una teoria sistematica e ordinatrice capace di trovare il filo della regolarità dove apparentemente c’è solo disordine e caos. (come Pitagora)

Rapido excursus finale di storia della musica

BACH:
FUGA: centro della sua estetica formale, sintesi di tutta la tradizione canonica precedente cioè in esse troviamo tutte le forme canoniche della storia. Le sue fughe vengono definite “la grande enciclopedia dei canoni fiamminghi”
Tra le sue raccolte si ricordano “Gli esercizi per tastiera” in cui si nota il simbolismo, al centro di questa raccolta infatti c’è una fuga dedicata alla trinità, con 3 bemolli, divisa in 3 parti ed ogni parte è divisa in soggetto, controsoggetto e risposta.

PARTITA (barocca): basata su uno schema musicale fisso, ripetuto e variato ad ogni sezione, cioè è la successione di variazioni su un tema dato
BASSO CONTINUO: basso ripetuto ininterrottamente, in modo rigoroso

1700: razionalismo, periodo in cui operano grandi matematici ed astrologi, Keplero, Copernico, Galilei
VIVALDI: ed il suo “Estro Armonico”; “Il cimento dell’armonia” in cui mostra grande attenzione per i confini armonici
Il razionalismo in musica darà luogo ad alcune caratteristiche
-cosmopolitismo del compositore e dell’autore, si tende ad un linguaggio europeo, internazionale
-semplificazione del linguaggio
-“massificazione”, la musica si stacca pian piano dal mecenate ma ha a che fare con il pubblico ed il suo apprezzamento.
DEA RAGIONE
CLASSICISMO
STILE GALANTE: eleganza in musica, raffinatezza.( a fianco di questa razionalizzazione si ha anche una corrente opposta quella del Rococò)

SONATA: forma costituita da ESPOSIZIONE – SVILUPPO - RIPRESA

MOZART, Grande esempio di sintesi, crea uno stile omogeneo, universale distili diversi.

HAYDN, BEETHOVEN

Nasce la SINFONIA moderna / scuola di Mannheim
Forma ben strutturata, forma come ideale di bellezza, simmetria, omogeneità, equilibrio delle parti.
La forma diventa un contenitore, il modo in cui si esprime la composizione
Presso i greci il termine Sinfonia indicava la consonanza: ottava, quinta, quarta, opposta alla diaphonia degli altri intervalli…e mantenne questo significato anche nel Medioevo.
Nel 1500 il vocabolo è usato per indicare composizioni per strumenti (siamo nel periodo di emancipazione della musica strumentale da quella vocale)
Nel 1600 viene chiamata sinfonia l’introduzione strumentale dell’opera, oratorio e cantata…queste si svilupparono fino a fissarsi (soprattutto con Scarlatti) nello schema tripartito: Allegro – adagio – allegro)
Nel 1700 la sinfonia, inizia ad apparire come forma autonoma, come composizione da concerto e si arriverà alla sinfonia classica moderna. (decisivo il contributo di Beethoven)
La sonata classica consta di 4 movimenti
Allegro in forma sonata
Adagio (per lo più in forma di Lied)
Minuetto
Finale (vivace o presto per lo più in forma di Rondò)

TARDO OTTOCENTO: crisi dell’armonia, le scale, le sperimentazioni sono i nuovi orizzonti espressivi…decadentismo

......

DUBBIO che si perpetua fino ad oggi: la musica è di origine divina o è basata sulla scienza?

la4

Il fatto che la musica sia matematica si vede anche dalla frequenza stabilita per il La sopra il do centrale (la4) = definita per convenzione a 440 hertz, valore stabilito dalla conferenza internazionale di Londra del 1939. In precedenza, si usavano spesso le frequenze di 432 e 435 hertz, ma a seconda del luogo, del periodo e del tipo di musica il la4 poteva variare tra i 415 e 445 hertz, andando a toccare quindi anche l'odierno la bemolle.
Le frequenze di tutte le altre note sono calcolate a partire dal la4.
Il la4 è di fondamentale importanza, perché è la nota dei diapason. Al di fuori dell'ambito musicale, numerose applicazioni tecniche usano il la3 come "frequenza standard", come il monoscopio RAI e il tono di libero del telefono, che all'occorrenza possono essere usati come diapason.