Il legame che unisce la matematica e la musica nel corso della storia si rinvigorisce nell’epoca attuale, grazie ai contributi degli studi di psico-acustica ed allo sviluppo dell’elettronica.
Unendo i dati che ho raccolto nel blog ed il materiale messo su Blackboard per l’esame, ho cercato di evidenziare i momenti più salienti di un argomento così vasto e che non può certo esaurirsi in questo modo.
Ho ricavato il materiale da:
-vari libri di storia della musica ed in particolare dalla lettura di “Penna, pennello e bacchetta” di Odifreddi
-appunti del Conservatorio
-un manuale di psicoacustica “La scienza del suono” e “le corde vibranti, l’orecchio, la musica” di Arthur Benade
-Iinternet
-Garzantine
- mi è anche stato consigliato di leggere materiale di Scimemi…ma questo mi prometto di farlo in futuro, per questione di tempo….
Gli spunti sono stati infiniti ed unirli in un discorso unitario e stato molto impegnativo anche a motivo della necessaria selezione che ho dovuto operare.
Riguardo la preparazione dell’esame ho trovato qualche difficoltà anche nel destreggiarmi con QQ.storie ma grazie alla carità cristiana di alcune ragazze che mi hanno aiutata sono riuscita ad uscire dal tunnel.
In generale la preparazione dell’esame si è risolta in un coinvolgimento sempre più vorticoso che è cresciuto a mano a mano che passavano i giorni. La matematica, la logica, l’ordine ed il disordine sono l’essenza (come diceva Pitagora) della nostra vita ma non mi ero mai fermata a riflettere abbastanza. La matematica non si risolve nelle tabelline, nelle operazioni, nelle regole mnemoniche imparate scuola, o meglio, tutto ciò che la scuola mi aveva insegnato fin’ora era solo uno strato superficiale ed in più distaccato dalla realtà, uno strato appartenente ad un mondo perfetto ma parallelo alla dimensione della quotidianità….invece ho scoperto che ogni cosa che faccio implica la matematica. La mia è diventata quasi una malattia, ogni azione più o meno banale della mia giornata è carica di significato matematico e non riesco più a fare a meno di riconoscerlo. Si è chiusa la porta della matematica tradizionale e mi si è aperto il portone della matematica, vera, sincera e gratificante. Spero solo di non affievolire nel tempo l’opportunità che mi è stata data e spero un giorno di poterla trasmettere a qualcuno anch’io. Per ora mi esercito con le persone che mi sono a fianco ed ho notato che questo nuovo approccio, diverte, interessa ed è contagioso…a partire dagli indovinelli matematici, dalla nuova ottica con cui si leggono i giornali, alla constatazione di quanto i numeri fanno parte della vita di ognuno.
giovedì 22 maggio 2008
Musica Generativa
L’universo vive di suoni, lo diceva Pitagora…
Il frattale è geometria e logica ma anche musica.
Fin’ora ho affrontato solo l’aspetto visivo dei frattali. Essendo funzioni matematiche, è altrettanto possibile associarvi una rappresentazione sonora. L'effetto è meno diretto e sicuramente non altrettanto gradevole. L'altezza e la durata di una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l'autosimilarità che è così chiara nelle immagini. Esattamente come nella rappresentazione convenzionale, abbiamo a che fare con un "ordine nel disordine", un caos deterministico. Un brano di musica che consiste di note scelte a caso ci risulta fastidioso, così come la ripetizione senza fine dello stesso motivo diventa implacabilmente noiosa. A tutti noi piacciono suoni che abbiano una loro struttura e varietà.
In natura esistono tre tipi di rumori = noise
- rumore bianco, meglio conosciuto come white noise; - rumore marrone, meglio conosciuto come brown noise; - rumore rosa, meglio conosciuto come pink noise.
Il white noise è il suono che si ode, ad esempio, quando la radio non è sintonizzata su una stazione: esso è del tutto casuale, e la sua ampiezza e frequenza a un dato momento è indipendente dagli istanti precedenti.
Il brown noise è più strutturato del white noise, in esso sono presenti ugualmente suoni casuali, ma collegati ognuno al precedente da una regola.
Infine, il pink noise, che è più strutturato del bianco, ma meno strutturato del marrone; esso è più gradevole all'orecchio di quello bianco, forse troppo casuale, e di quello marrone, forse troppo rigido.
Applicati alla musica, i procedimenti frattali offrono risultati molto promettenti; la loro dinamica caotica offre, infatti, quel miscuglio di regole ed imprevedibilità che tanto affascina l'animo umano.Per realizzare una musica frattale, preparata una curva opportuna, e disegnato su di essa un pentagramma, si dispongono poi le note in modo da ottenere la migliore musicalità. Solitamente un'altra curva frattale stabilisce la durata del suono stesso.
Esistono programmi specifici per generare le melodie in modo automatico, quindi l’informatica apre molteplici porte tutte da scoprire.
L’applicazione dell’intelligenza artificiale, o più semplicemente di processi d’elaborazione sintetici e autonomi, alla musica è ancora lontana dall’essere realizzata e non è paragonabile al livello raggiunto dalle composizioni intellettuali dell’uomo. L’idea di «musica automatica», a ogni modo, non è certo nuovissima, come si sarebbe portati a pensare: già nel 1787 a misurarsi con tali congetture fu Mozart che in quell’anno scrisse le istruzioni e le misure di un sistema di composizione per minuetto ottenuto attraverso un gioco di dadi. Basandosi sulle 176 possibili misure per un minuetto e 96 possibili forme ternarie, il genio austriaco compilò una tabella di regole per associare ai risultati delle giocate le rispettive note. In pratica questo è stato il primo algoritmo di composizione generativa.Da allora la matematica ha fatto parte di diverse sperimentazioni musicali, sia colte sia pop, ma per ritrovare la generazione musicale spontanea si deve tornare ai giorni nostri, dapprima con i tentativi più concettuali di Steve Reich e Terry Riley, e poi con uno dei più famosi guru dell’elettronica: Brian Eno. Già con uno dei suoi primi lavori seminali, Discreet Music del 1975, il celebre autore inglese si interessò alla produzione spontanea di esperienze musicali. In uno dei brani di questo album due semplici cicli melodici di diversa durata si ripetono separatamente, potendo così sovrapporsi in maniera arbitraria. Per esempio, un ciclo di 30 secondi e uno di 50 secondi si sovrappongono perfettamente ogni 1.500 secondi (30 moltiplicato 50). Di qui l’uso di diversi registratori a nastro, ciascuno contenente un ciclo, fatti suonare tutti insieme, in modo che lo stesso suono perfettamente sincrono sarebbe stato ripetuto solo dopo anni. Il passo successivo è venuto dall’utilizzo della tecnologia digitale non solo per raffinare questa tecnica, ma per evolverla, introducendo variabili probabilistiche che variassero davvero il brano a ogni esecuzione, specificando solo il dominio musicale entro cui comporre la sua struttura e i parametri su cui svilupparlo.
Esiste un software, specializzato in quest’ambito, che usa il programma Koan, che sfrutta adeguatamente le comuni schede audio dei Pc.
Si possono anche scaricare i parametri necessari a generare il brano desiderato con il proprio hardware, un po’ come un file Midi, ma non definito nota per nota, bensì autogenerato a partire da alcuni dati. Un vantaggio immediato è che le dimensioni totali del file sono completamente indipendenti dalla durata della sua esecuzione, e quindi risulteranno davvero minime, in genere dai 5 ai 20 KB, oltre, come già detto, a non suonare mai sempre allo stesso modo. Per motivi strategici e di marketing, quindi, la SSEYO, la software house sta ora ribattezzando i suoi prodotti come Koan Audio Vectors, ossia «audio vettoriale».
Non mancano i software gratuiti che permettono di sperimentare col proprio Pc la creazione di brani che si autogenerano.
La Algorithmic Arts , per esempio, è una piccola casa di software che ha come prodotto di punta SoftStep, un sequencer per Windows che integra tool di composizione di diverso tipo, inclusi quelli che generano melodie basate su algoritmi frattali, a partire dalla teoria del caos, su basi probabilistiche e numeriche.
Anche The Well-Tempered Fractal v 3.0, sviluppa ambiti frattali e legati alla teoria del caos, ed è completamente gratuito per Windows 95, completo di Midi d’esempio.
Come pure MusiNum , sempre freeware per Windows che genera musica frattale attraverso successioni di cifre ottenute con semplici somme, composte secondo la teoria dei numeri e associate attraverso i principi di similarità autoreferenziale. Tangent, infine, un altro freeware per Windows 95/98, evoluzione del precedente QuasiFractal Composer, usa metodi algoritmici, euristici, deterministici, stocastici, generativi e trasformativi, sintetizzando diversi approcci alla generazione automatica. Il suo autore insiste a definirne l’approccio come «eclettico neo-generativo», ma in termini più pragmatici basta dire che la particolarità di questo programma è che si basa sulle strutture più che sulle singole note. Dai frattali agli algoritmi genetici il passo è breve. Genetic Jammer è un programma basato proprio su queste tecniche che impara a suonare assoli jazz d’improvvisazione, comunicando attraverso lo standard Midi con i suoi partner «umani». Ma è pur vero che in natura, comunque, si trovano numerose sequenze simmetriche che possono ispirare inediti accostamenti. Uno di questi è il patrimonio genetico, visto come la complessa struttura del Dna, e proprio a quest’associazione sono ricorsi i due musicisti Susan Alexjander e David Deamer che hanno ribattezzato le loro creazioni come DNA Music , associando alle basi le note di un sistema a quattro toni. Una sorta di reverse engineering, invece, è stata compiuta da David Cope, uno studioso californiano che ha sviluppato EMI – Experiments in Musical Intelligence arts.ucsc.edu/faculty/cope/mi.midi.html. EMI è un software che analizza i brani e ne isola melodie e ritmi ricorrenti, componendo poi sulla base di queste strutture. I risultati sono tanto convincenti che hanno ingannato un pubblico attento in una dimostrazione pubblica in cui furono messi a confronto brani originali di Bach con quelli generati da EMI. Va aggiunto che, comunque, gli algoritmi utilizzati funzionano egregiamente con stili molto ripetitivi (come Bach, appunto), mentre fanno cilecca con quelli che variano molto.Lo stesso Eno definisce la musica generativa come «tanto ignorabile, quanto interessante», ma ipotizza anche in maniera inquietante che i nostri nipoti un giorno ci potrebbero guardare stupiti e chiedere: «Ma davvero tu ascoltavi esattamente lo stesso brano per tante volte di seguito?». Trascurando un futuro, non troppo distante, in cui creature sviluppate ad hoc – come la pop star Kyoko Date di qualche anno fa, a cui si ispirava l’Aidoru dell’omonimo romanzo di William Gibson – confermino la raffinata concezione di creare non più soltanto un’opera musicale autonoma, ma un essere (antropomorfo o meno) che, a partire dai nostri modelli mentali, sarebbe in grado di produrre contenuti sempre diversi e originali, sorprendendoci proprio come i nostri simili.
Il frattale è geometria e logica ma anche musica.
Fin’ora ho affrontato solo l’aspetto visivo dei frattali. Essendo funzioni matematiche, è altrettanto possibile associarvi una rappresentazione sonora. L'effetto è meno diretto e sicuramente non altrettanto gradevole. L'altezza e la durata di una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l'autosimilarità che è così chiara nelle immagini. Esattamente come nella rappresentazione convenzionale, abbiamo a che fare con un "ordine nel disordine", un caos deterministico. Un brano di musica che consiste di note scelte a caso ci risulta fastidioso, così come la ripetizione senza fine dello stesso motivo diventa implacabilmente noiosa. A tutti noi piacciono suoni che abbiano una loro struttura e varietà.
In natura esistono tre tipi di rumori = noise
- rumore bianco, meglio conosciuto come white noise; - rumore marrone, meglio conosciuto come brown noise; - rumore rosa, meglio conosciuto come pink noise.
Il white noise è il suono che si ode, ad esempio, quando la radio non è sintonizzata su una stazione: esso è del tutto casuale, e la sua ampiezza e frequenza a un dato momento è indipendente dagli istanti precedenti.
Il brown noise è più strutturato del white noise, in esso sono presenti ugualmente suoni casuali, ma collegati ognuno al precedente da una regola.
Infine, il pink noise, che è più strutturato del bianco, ma meno strutturato del marrone; esso è più gradevole all'orecchio di quello bianco, forse troppo casuale, e di quello marrone, forse troppo rigido.
Applicati alla musica, i procedimenti frattali offrono risultati molto promettenti; la loro dinamica caotica offre, infatti, quel miscuglio di regole ed imprevedibilità che tanto affascina l'animo umano.Per realizzare una musica frattale, preparata una curva opportuna, e disegnato su di essa un pentagramma, si dispongono poi le note in modo da ottenere la migliore musicalità. Solitamente un'altra curva frattale stabilisce la durata del suono stesso.
Esistono programmi specifici per generare le melodie in modo automatico, quindi l’informatica apre molteplici porte tutte da scoprire.
L’applicazione dell’intelligenza artificiale, o più semplicemente di processi d’elaborazione sintetici e autonomi, alla musica è ancora lontana dall’essere realizzata e non è paragonabile al livello raggiunto dalle composizioni intellettuali dell’uomo. L’idea di «musica automatica», a ogni modo, non è certo nuovissima, come si sarebbe portati a pensare: già nel 1787 a misurarsi con tali congetture fu Mozart che in quell’anno scrisse le istruzioni e le misure di un sistema di composizione per minuetto ottenuto attraverso un gioco di dadi. Basandosi sulle 176 possibili misure per un minuetto e 96 possibili forme ternarie, il genio austriaco compilò una tabella di regole per associare ai risultati delle giocate le rispettive note. In pratica questo è stato il primo algoritmo di composizione generativa.Da allora la matematica ha fatto parte di diverse sperimentazioni musicali, sia colte sia pop, ma per ritrovare la generazione musicale spontanea si deve tornare ai giorni nostri, dapprima con i tentativi più concettuali di Steve Reich e Terry Riley, e poi con uno dei più famosi guru dell’elettronica: Brian Eno. Già con uno dei suoi primi lavori seminali, Discreet Music del 1975, il celebre autore inglese si interessò alla produzione spontanea di esperienze musicali. In uno dei brani di questo album due semplici cicli melodici di diversa durata si ripetono separatamente, potendo così sovrapporsi in maniera arbitraria. Per esempio, un ciclo di 30 secondi e uno di 50 secondi si sovrappongono perfettamente ogni 1.500 secondi (30 moltiplicato 50). Di qui l’uso di diversi registratori a nastro, ciascuno contenente un ciclo, fatti suonare tutti insieme, in modo che lo stesso suono perfettamente sincrono sarebbe stato ripetuto solo dopo anni. Il passo successivo è venuto dall’utilizzo della tecnologia digitale non solo per raffinare questa tecnica, ma per evolverla, introducendo variabili probabilistiche che variassero davvero il brano a ogni esecuzione, specificando solo il dominio musicale entro cui comporre la sua struttura e i parametri su cui svilupparlo.
Esiste un software, specializzato in quest’ambito, che usa il programma Koan, che sfrutta adeguatamente le comuni schede audio dei Pc.
Si possono anche scaricare i parametri necessari a generare il brano desiderato con il proprio hardware, un po’ come un file Midi, ma non definito nota per nota, bensì autogenerato a partire da alcuni dati. Un vantaggio immediato è che le dimensioni totali del file sono completamente indipendenti dalla durata della sua esecuzione, e quindi risulteranno davvero minime, in genere dai 5 ai 20 KB, oltre, come già detto, a non suonare mai sempre allo stesso modo. Per motivi strategici e di marketing, quindi, la SSEYO, la software house sta ora ribattezzando i suoi prodotti come Koan Audio Vectors, ossia «audio vettoriale».
Non mancano i software gratuiti che permettono di sperimentare col proprio Pc la creazione di brani che si autogenerano.
La Algorithmic Arts , per esempio, è una piccola casa di software che ha come prodotto di punta SoftStep, un sequencer per Windows che integra tool di composizione di diverso tipo, inclusi quelli che generano melodie basate su algoritmi frattali, a partire dalla teoria del caos, su basi probabilistiche e numeriche.
Anche The Well-Tempered Fractal v 3.0, sviluppa ambiti frattali e legati alla teoria del caos, ed è completamente gratuito per Windows 95, completo di Midi d’esempio.
Come pure MusiNum , sempre freeware per Windows che genera musica frattale attraverso successioni di cifre ottenute con semplici somme, composte secondo la teoria dei numeri e associate attraverso i principi di similarità autoreferenziale. Tangent, infine, un altro freeware per Windows 95/98, evoluzione del precedente QuasiFractal Composer, usa metodi algoritmici, euristici, deterministici, stocastici, generativi e trasformativi, sintetizzando diversi approcci alla generazione automatica. Il suo autore insiste a definirne l’approccio come «eclettico neo-generativo», ma in termini più pragmatici basta dire che la particolarità di questo programma è che si basa sulle strutture più che sulle singole note. Dai frattali agli algoritmi genetici il passo è breve. Genetic Jammer è un programma basato proprio su queste tecniche che impara a suonare assoli jazz d’improvvisazione, comunicando attraverso lo standard Midi con i suoi partner «umani». Ma è pur vero che in natura, comunque, si trovano numerose sequenze simmetriche che possono ispirare inediti accostamenti. Uno di questi è il patrimonio genetico, visto come la complessa struttura del Dna, e proprio a quest’associazione sono ricorsi i due musicisti Susan Alexjander e David Deamer che hanno ribattezzato le loro creazioni come DNA Music , associando alle basi le note di un sistema a quattro toni. Una sorta di reverse engineering, invece, è stata compiuta da David Cope, uno studioso californiano che ha sviluppato EMI – Experiments in Musical Intelligence arts.ucsc.edu/faculty/cope/mi.midi.html. EMI è un software che analizza i brani e ne isola melodie e ritmi ricorrenti, componendo poi sulla base di queste strutture. I risultati sono tanto convincenti che hanno ingannato un pubblico attento in una dimostrazione pubblica in cui furono messi a confronto brani originali di Bach con quelli generati da EMI. Va aggiunto che, comunque, gli algoritmi utilizzati funzionano egregiamente con stili molto ripetitivi (come Bach, appunto), mentre fanno cilecca con quelli che variano molto.Lo stesso Eno definisce la musica generativa come «tanto ignorabile, quanto interessante», ma ipotizza anche in maniera inquietante che i nostri nipoti un giorno ci potrebbero guardare stupiti e chiedere: «Ma davvero tu ascoltavi esattamente lo stesso brano per tante volte di seguito?». Trascurando un futuro, non troppo distante, in cui creature sviluppate ad hoc – come la pop star Kyoko Date di qualche anno fa, a cui si ispirava l’Aidoru dell’omonimo romanzo di William Gibson – confermino la raffinata concezione di creare non più soltanto un’opera musicale autonoma, ma un essere (antropomorfo o meno) che, a partire dai nostri modelli mentali, sarebbe in grado di produrre contenuti sempre diversi e originali, sorprendendoci proprio come i nostri simili.
domenica 18 maggio 2008
CASALINGHE
...dunque...la prova T03 dell'esame di matematica riguarda..."un genio".
Io ho già fatto l' intervista, al mio datore di lavoro, Don Igino...ma stavo pensando che il vero genio è la CASALINGA DELLA PORTA ACCANTO...LE CASALINGHE!!!
Alla mattina vanno a fare la spesa con i 4 soldi che il marito può tirar via dalla pensione...
fanno la spesa e nonostante la miseria, riscono a tenersi da parte qualche spicciolo per giocare al lotto! e poi tutti i giorni "ti mettono davanti un PIATTO NUOVO, o almeno lo spacciano tale...un giorno fusilli al pomodoro, il giorno dopo rigatoni con pelati, il terzo spaghetti con pomodoro al basilico....non dicono polenta e merluzzo ma pasticcio di mais e pesce del mar Baltico!
L'italia è fatta di geni!...e più andiamo avanti più ce ne saranno!!!
Io ho già fatto l' intervista, al mio datore di lavoro, Don Igino...ma stavo pensando che il vero genio è la CASALINGA DELLA PORTA ACCANTO...LE CASALINGHE!!!
Alla mattina vanno a fare la spesa con i 4 soldi che il marito può tirar via dalla pensione...
fanno la spesa e nonostante la miseria, riscono a tenersi da parte qualche spicciolo per giocare al lotto! e poi tutti i giorni "ti mettono davanti un PIATTO NUOVO, o almeno lo spacciano tale...un giorno fusilli al pomodoro, il giorno dopo rigatoni con pelati, il terzo spaghetti con pomodoro al basilico....non dicono polenta e merluzzo ma pasticcio di mais e pesce del mar Baltico!
L'italia è fatta di geni!...e più andiamo avanti più ce ne saranno!!!
venerdì 16 maggio 2008
MUSICA E FRATTALI
Un primo compendio di pagine a cui dare un’occhiata, ricco d’informazioni specifiche quasi come un mini-portale, è Fractal Music Lab che, come un piccolo bignami riporta sinteticamente tutte le teorie principali ed è fornito di una nutrita sezione di link da consultare per approfondire le diverse branche in cui sfocia la trattazione.
Fiocco di neve di von Koch
...è un esempio di frattale semplice nata come esempio di curva priva di tangente in alcun punto: si prende un segmento (lungo 3 unità) lo si taglia in 3 parti e si sostituisce quella centrale con due segmentini uguali a quello eliminato ottenendo una lunghezza pari a (4/3)^1; ora si ripete l'operazione con ciascuno dei quattro segmenti così ottenuti ottenendo una lunghezza di (4/3)^2 e poi si continua a ripeterla per un numero infinito di volte. La curva che si ottiene dopo un numero infinito di iterazioni è una curva frattale e come tutte le curve frattali è dotata di affascinanti proprietà matematiche, facili da intuire ma, spesso, difficili da dimostrare. La sua lunghezza è ( 4/3)^p cioè infinita quando p aumenta all'infinito.
triangolo di Sierpinski
Fra i primi frattali studiati, un posto d'onore occupa il cosiddetto triangolo di Sierpinski (o Gerla di Sierpinski), dal nome del matematico che per primo ne ha studiato le proprietà. Si tratta di un frattale molto semplice da ottenere anche per via geometrica elementare.
Da un punto di vista strettamente geometrico viene generato con una serie di rimozioni. Si inizia con un quadrato pieno da cui si rimuove un quadratino di lato pari alla metà del quadrato iniziale, in modo da ottenere una figura, formata da tre quadrati. Da ciascuno di questi quadrati si elimina il quadratino in basso a destra e si ottiene una figura formata da nove quadratini. In questo modo si continua ogni volta fino ad arrivare al risultato finale. Infine è evidente l'autosimilarità: la figura si può dividere in tre parti tutte e tre simili all'intero frattale.
Da un punto di vista strettamente geometrico viene generato con una serie di rimozioni. Si inizia con un quadrato pieno da cui si rimuove un quadratino di lato pari alla metà del quadrato iniziale, in modo da ottenere una figura, formata da tre quadrati. Da ciascuno di questi quadrati si elimina il quadratino in basso a destra e si ottiene una figura formata da nove quadratini. In questo modo si continua ogni volta fino ad arrivare al risultato finale. Infine è evidente l'autosimilarità: la figura si può dividere in tre parti tutte e tre simili all'intero frattale.
il CASO
Con ordine, anche se con un ordine incredibilmente complicato..il caos dirige diligentemente tutte le operazioni alla base della vita, riducendo il globale tessuto connettivo della natura, in un unico, per quanto intricato sia, sistema frattale. la natura però è creata con casualità ed i frattali possono diventare più realistici se tengono conto della casualità della natura e riproducono i suoi dati statistici. Occorre che ogni parte del frattale abbia le stesse proprietà statistiche. Introducendo una certa casualità nella costruzione si potrebbe stabilire di lasciare al caso la decisione di creare una spirale verso sinistra o verso destra a seconda della disposizione dei lati dei triangoli rettangoli. Questa introduzione di piccoli disturbi nella costruzione di frattali rende questi ultimi più simili a oggetti naturali come alberi, piante, coralli e spugne. Si è sviluppata quindi una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura. I risultati a volte sono stati stupefacenti. Uno dei frattali biomorfi più riusciti è la foglia di felce i cui dettagli, detti autosimili, riproducono sempre la stessa figura
Ci sono diversi modi di introdurre il caso nella costruzione dei frattali e oggi ci sono programmi per computer che possono creare lunghe serie arbitrarie di numeri casuali.Si può vedere come i frattali siano influenzati da una certa casualità controllata. Tutto deriva dal primo numero, quindi è una sequenza deterministica, ma dà l'impressione che sia caotica. Un buon metodo molto pratico per i frattali basato sulla casualità è pensare al fatto che i frattali sono formati da un numero infinito di punti e che si può rappresentare solo una frazione di essi, un illusione della loro completezza. Analizzando ad esempio l'albero di Pitagora scopriamo che sono stati rappresentati solo i primi 12 passaggi.
Ci sono diversi modi di introdurre il caso nella costruzione dei frattali e oggi ci sono programmi per computer che possono creare lunghe serie arbitrarie di numeri casuali.Si può vedere come i frattali siano influenzati da una certa casualità controllata. Tutto deriva dal primo numero, quindi è una sequenza deterministica, ma dà l'impressione che sia caotica. Un buon metodo molto pratico per i frattali basato sulla casualità è pensare al fatto che i frattali sono formati da un numero infinito di punti e che si può rappresentare solo una frazione di essi, un illusione della loro completezza. Analizzando ad esempio l'albero di Pitagora scopriamo che sono stati rappresentati solo i primi 12 passaggi.
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