FRATTALI - MATEMATICA - ARMONIA

Il frattale è l’ultima dimostrazione di quella magica armonia che governa tutto l’universo.
Che la natura sia scritta e disegnata con leggi matematiche non è un fatto nuovo e già Galileo ne faceva il punto cardine della sua visione dell’ Universo.
È sufficiente guardarsi intorno per scoprire quante entità "autosimili" siano presenti nel nostro mondo: un cavolfiore e le sue infiorescenze, una nuvola, le coste di un'isola, alcuni organi del corpo umano
Rappresentano bene il connubio tra bellezza, arte e scienza. Partendo dallo studio delle proporzioni notiamo che nell’arte ed in natura esistono tantissime strutture, opere d’arte, piante…in cui il concetto di proporzione è presente, cioè le proporzioni sono alla base dell’armonia e bellezza del mondo
Tantissimi oggetti della natura, molti più di quelli che pensiamo (alberi, montagne, nuvole, foglie, felci, erbe, fiori…di tutti i tipi e di tutte le dimensioni) hanno forme complesse, irregolari, frastagliate, frammentate che rispecchiano curiose proprietà geometriche.
Forme che non corrispondono agli assiomi ed alla geometria euclidea che studiamo a scuola fatta di rette, cerchi, cubi, poligoni, poliedri più o meno regolari…questi enti geometrici esistono solo nella mente dei matematici e per descrivere la natura sono inadeguati.
In natura esistono figure matematiche dotate di dimensioni frazionate e non intere.
Ecco perché sentiamo spesso dire che la geometria è fredda e arida…Perché incapace di descrivere le forma di una nuvola, una montagna, una linea costiera, una pianta…Le nuvole non sono sfere, le coste non sono cerchi, ), le montagne non sono coni, il fulmine non si propaga in maniera lineare ma oggetti geometricamente molto complessi (Mandelbrot)
La cosa più sorprendente dei frattali è il fatto che sono largamente presenti in natura quasi si trattasse di una sorta di linguaggio naturale.
ABETE: l’ albero in natura è l’esempio a noi più familiare di frattale …ad un’attenta osservazione notiamo che ogni ramo è simile all’intero albero ed ogni rametto è simile al proprio ramo…
FELCE: anche qui notiamo che una parte della felce è simile alla felce stessa…la parte è una copia in piccolo della foglia completa. Se prendessimo parti sempre più piccole potremmo procedere all’infinito e trovare sempre copie esatte della felce “madre”.
MONTAGNA: a distanza vediamo la montagna nel suo insieme se poi, da vicino, osserviamo una piccola roccia, vediamo che questa presenta delle caratteristiche strutturalmente simili a quelle dell'intera montagna
Conclusione: una parte dell’oggetto è simile al tutto…sono oggetti autosimili
Se consideriamo che la felce è un oggetto geometrico allora il collegamento con la matematica è diretto…come tale può essere espressa attraverso una formula matematica…I frattali possono essere costruiti seguendo precise regole matematiche.
Cosa sono dunque i frattali? Stranissimi enti matematici…
In realtà è molto difficile definirli, visto che ne esiste una grande varietà ed ognuna ha proprie caratteristiche…lo stesso Mandelbrot, matematico francese, padre fondatore della teoria dei frattali (ed inventore del famoso insieme che porta il suo nome) non ne dà una definizione matematica ma ne fornisce solo una definizione approssimativa ed intuitiva. Il frattale è un concetto difficile se lo si vuole esprimere matematicamente, ma se vogliamo realizzarlo con un disegno e servirci dell’arte allora ci accorgiamo che l’idea non è complicata.
ARIETE: PITAGORA è del segno del’ariete…se si pensa all’ariete e poi a Pitagora al massimo si può immaginare che tra i due ci sia una relazione astronomica. Guardando l’ariete non sembra
proprio che abbia qualche connessione con Pitagora ed il suo teorema. Però se disegnamo un triangolo rettangolo ed i quadrati sui tre lati, ed ancora un triangolo simile al primo sui due cateti e ancora e ancora…ci accorgiamo che adesso l’ariete e Pitagora hanno qualcosa in comune, la spirale pitagorica. Dal teorema di Pitagora si è visto che la rappresentazione grafica di questo teorema e giocando con esso si può costruire una figura completamente diversa che assomiglia alle corna di un ariete; la spirale pitagorica.
Frattali in matematica, astronomia, arte, biologia, tradizioni.
In ogni caso sono frattali gli oggetti o figure geometriche (come il cerchio, triangolo)che rispondono a queste 4 caratteristiche, cioè possiedono alcune proprietà diverse:.
1) oggetti che presentano la caratteristica di autosimilarità (self-similarity)… a qualunque scala si osservi, l’oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali. L’oggetto è l’unione di parti che ingrandite riproducono tutto l’oggetto…cioè l’oggetto si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse…è l’unione di copie identiche di sé stesso a scale differenti (continuamente ridotte)…cioè non cambia aspetto anche se visto con una lente d’ingrandimento si ripete all’infinito.
Infinite interazioni, trasformazioni nelle quali si conserva il particolare motivo geometrico.
2) sono oggetti che contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica se vengono ingranditi non perdono dettagli ma anzi si arricchiscono di nuovi particolari…rivelano nuovi dettagli.
3) irregolari cioè non soddisfano semplici condizioni geometriche ed analitiche.
4) l’autosimilarità è maggiore della dimensiona topologica…cioè la loro dimensione non è intera ma sono considerati dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria. Un’altra sua caratteristica è la dimensione. Il frattale occupa una superficie compresa entro limiti…quindi la sua area è definita, ma ha un perimetro infinito…cioè la lunghezza della linea che delimita l’area è infinita.
Mandelbror si chiede “Quanto è lunga la dimensione della costa della GranBretagna?”…dimostrò che la lunghezza dei vari tratti poteva continuare all’infinito scendendo su una scala sempre più piccola e non trovò una risposta definitiva ma riuscì a definire un numero compreso tra 1 e 2 che identificava il frastagliamento della costa. Più la linea della costa era frastagliata e più questo numero frazionario si avvicinava a 2. Mandelbrot dimostrò che questo numero conteneva delle proprietà di una dimensione che chiamò “dimensione frattale”. La geometria frattale fa di questi casi che sfidano la norma i fondamenti di una nuova matematica delle forme, il punto di partenza di una teoria sistematica e ordinatrice capace di trovare il filo della regolarità dove apparentemente c’è solo disordine e caos. (come Pitagora)