Teorie matematico - musicali nella grecia antica

TETRACORDO: schema musicale elementare e fondamentale, formato dalla successione di 4 note congiunte, che per la musica greca ha la funzione della scala di ottava per la nostra musica.
Gli estremi di queste 4 note erano ad intervallo di quarta ( 2 toni più un semitono)
La disposizione degli intervalli interni poteva variare secondo la posizione che si attribuiva alle 2 note intermedie
Tetracordo di genere DIATONICO: se gli intervalli erano disposti nella successione in ordine ascendente di semitono, tono, tono
CROMATICO: se la successione era di semitono, semitono, 1tono e mezzo.
ENARMONICO: 1/4 di tono, 1/4 di tono , 2 toni
Viene così modificata l' accordatura della cetra per intonare il tetracordo enarmonico coi quarti di tono.

LE TEORIE MUSICALI:

Uno studio sistematico dei fondamenti teorici della musica nella Grecia antica ebbe inizio alla fine del 6° a. C. ad Atene e nell’Italia meridionale, a Crotone, per opera di 2 personaggi di notevole rilievo nella storia della cultura greca: Laso di Ermione e Pitagora di Samo.
Laso per primo usò il termine harmoniai in senso musicale; aumentò il numero delle corde della cetra e definì in termini matematici l’ampiezza degli intervalli.
Pitagora arrivò sperimentalmente alla dimostrazione dell’esistenza di rapporti numerici tra i suoni consonanti ad intervallo di 4a, 5a, 8a. La stessa scoperta fu attribuita a Laso ed Ippaso di Metaponto, pitagorico...
Pitagora e seguaci affrontano problemi di misurazione acustica con l’ausilio di strumenti scientifici come il monocordo, i vasi riempiti d’acqua fino a determinati intervalli, i dischi metallici di peso diverso.
Si tratta naturalmente di misure relative all’altezza dei suoni in rapporto ad altri suoni, non di misure assolute, dal momento che gli studiosi dell’antichità non arrivarono ad individuare con certezza nelle vibrazioni i fenomeni che danno origine ai suoni, né tanto meno a scoprire un strumento per misurare la frequenza.
Gli antichi così non ebbero mai la possibilità di stabilire un suono base, che potesse servire come punto di riferimento per l’intonazione di tutti gli altri suoni, come è il LA di 440 Hz per la nostra musica: è per questo che tutta la loto teoria musicale non si fondò sui suoni in assoluto ma sugli intervalli, cioè sulle differenze di altezze tra i diversi suoni.
Laso sarebbe stato dunque il primo ad individuare ed a prendere in considerazione le diverse harmoniai, cioè le accordature, è questo il significato originario del termine in senso musicale….che consentivano di intonare i nomoi, i canti tradizionali delle diverse zone della Grecia.
Ma solo Aristide Quintiliano ci ha conservato le successioni degli intervalli ed i diagrammi delle harmoniai…che utilizzano quarti di tono.
Lo studio delle harmoniai non potè prescindere dalla considerazione dei diversi tipi di tetracordo
La successione di 4 note consecutive che costituì l’elemento fondamentale di tutti i sistemi di suoni più completi che furono elaborati dai teorici da Aristosseno in poi.
Laso avvertì l’esigenza di modificare l’accordatura della cetra introducendo intervalli sempre più piccoli, evidentemente per poter eseguire anche sullo strumento a corda, melodie nel genere enarmonico, con le due note interne (la parhypate e la lichanos) del tetracordo, a distanza rispettivamente di un quarto di tono e di un semitono dalla nota più grave, l’hypate.

Aristosseno: considera tutte le posizioni che le 2 note intermedie del tetracordo possono occupare all’interno di uno spazio riservato a ciascuna delle due e giunge alla conclusione che esse sono infinite, possono porsi in qualsiasi distanza dalle note fisse del tetracordo che stano a intervallo di 4a (due toni e un semitono) l’una dall’altra (hipate e mese)
Egli allora delinea i caratteri dei tre generi del tetracordo, l’enarmonico, il diatonico, il cromatico per definire gli ambiti entro i quali possono collocarsi rispettivamente le 2 note intermedie (parhypate e la lichanos)
Genere enarmonico: ¼ di tono, ¼ di tono, 2 toni
Genere cromatico malakon: 1/3 di tono, 1/3 di tono, 1 tono e 5/6
Genere cromatico hemiolion 3/8 di tono, 3/8 di tono, 1 tono e 3/4
Genere cromatico sentono: ½ tono ½ tono, 1 tono e ½
Genere diatonico malakon: ½ tono, ¾ di tono, 5/4 d tono
Genere diatonico tonianon: ½ tono, 1tono, 1tono

La suddivisione del tetracordo proposta da Aristosseno è evidentemente il risultato di un procedimento empirico di valutazione delle ampiezza degli intervalli, nella pratica queste intonazioni dovevano essere molto difficili da quantificare.
Ma il problema della suddivisione degli intervalli del tetracordo secondo i generi fu affrontato da altri teorici dell’antichità da un diverso punto di partenza, secondo un procedimento esclusivamente matematico.
Pitagora per primo avrebbe assegnato un valori numerico a ciascuna delle 4 note fisse dell’ottava.
12 all’hipate (mi)
9 alla mese (la)
8 alla paramese (si)
6 alla nete (mi1) in modo che
l’intervallo di ottava era definito dal rapporto doppio 12: 6 (=2:1)
l’intervallo di quarta dal rapporto epitrito 12:9 oppure8:6 (=4:3)
l’intervallo di quinta dal rapporto emiolio 12:8 oppure 9:6 (=3:2)
l’intervallo di un tono dal rapporto 9:8
Per stabilire tali valori, egli, servendosi del monocordo o canon semplice o doppio avrebbe misurato le lunghezze delle corde che producevano note consonanti all’8a, alla 5a e alla 4a.

Filolao di Taranto divise l’ottava in 5 toni e 2 semitoni e assegnò alle 4 corde del tetracordo i seguenti valori numerici.
Mese 192
Lichanos 216
Alla paripate 143
All’hipate 256.
Tali valori sono il risultato di operazioni aritmetiche che partono dai rapporti pitagorici di
4:3 per la quarta
9:8 per il tono

Se dal rapporto di 4a si sottrae la somma dei rapporti dei 2 toni
9/8 x 9/8 = 81/64
4/3 : 81/64 = 4/3 x 64/81 = 256/ 243
si ottiene il rapporto relativo al semitono, definito dai numeri 243 e 256.

Secondo il rapporto 9:8, al 243 corrisponde alla distanza di 1 tono, il 216
(9:8 = 243 : x; x = (243 x 8) : 9 = 216) e a quest’ultimo, sempre a distanza di un tono, il 192
(9:8 = 216 : x; x = (216 x 8) : 9 = 192)
In base a tali valori la misura del primo intervallo di un tono sarebbe rappresentata dalla differenza tra 216 e 192, cioè 24
quella del 2° anch’esso di un tono dalla differenza tra 243 e 216 cioè 27
quella del terzo, di un semitono, dalla differenza tra 256 e 243 cioè 13.
Si nota con meraviglia che le misure dei 2 toni non sono uguali e che quella del semitono non corrisponde alla metà delle misure di ciascuno dei 2 toni.
Secondo Boezio, Filolao avrebbe distinto il semitono maggiore definito dal n°14, dal semitono minore definito dal numero 13, che sommato al 14 dà 27, la misura del tono maggiore.

Altri calcoli delle misure degli intervalli del tetracordo sono attribuiti ad Archita di Taranto (prima metà del 4° sec.a.C) che definisce gli intervalli del genere
enarmonico (2 toni, 1/4 di tono, ¼ di tono, secondo i rapporti 5/4, 36/35, 28/27)
cromatico (1tono e ½, ½ tono, ½ tono secondo i rapporti 32/27, 243/224, 28/27 )
diatonico (1 tono, 1 tono, ½ tono, secondo i rapporti 9/8, 8/7, 28/27).
La somma dei rapporti relativi a ciascun genere dà sempre come risultato 4/3, il rapporto della 4a. Euclide si avvicina al concetto di vibrazione come fenomeno generatore del suono, enuncia e dimostra una serie di teoremi sui rapporti tra suoni di diversa altezza e tra le lunghezze delle corde che li producono, misurate sul monocordo, costituendo così la base logica di tutte le possibili operazioni matematiche sugli intervalli e sui loro rapporti.

Claudio Tolomeo (2° sec) studia gli intervalli consonanti, le misurazioni degli intervalli interni al tetracordo e la definizione dei loro rapporti ad opera di Aristosseno ed Archita.
Egli propone quindi i suoi rapporti:
per l’enarmonico 5/4, 24/23 46/45,
per il cromatico malakon 6/5, 15/14, 28/27
per il cromatico syntonon 7/6, 12/11, 22/21,
per il diatonico toniaion 9/8, 8/7, 28/ 27
per il diatonico syntonon 10/9, 9/8 e 16/15.
Anche le sue misure tengono conto dei dati enunciati dai pitagorici e dimostrati anche da Euclide: se si considera come misura dell’intervallo di un tono la differenza tra una quarta ed una quinta (3/2:4/3 = 9/8) ne consegue che l’ottava (2:1) è più piccola di 6 toni;
i semitoni non possono essere la metà esatta del tono poiché 9/8 non è divisibile in due e neppure la 4a e la 5a sono esattamente di 2 toni e mezzo e di 3 toni e mezzo.
Quanto si è detto a proposito degli intervalli interni del tetracordo è una chiara riprova di ciò che si è affermato e cioè che la ricerca teorica sulla musica greca si svolse sempre su 2 piani ben distinti da una parte si fonda sui dati forniti dall’ascolto delle esecuzioni musicali e dall’altra sui risultati numerici delle indagini sperimentali acustico – matematiche.
Aristosseno fu certamente il primo o uno dei primi studiosi antichi che si occupò dei sistemi più ampi del tetracordo: Parla per la prima volta del sistema teleion, il sistema compiuto.
SISTEMA: insieme di più intervalli, più ampio del tetracordo, formate dall’associazione di 2 o più tetracordi collegati:
- per congiunzione: quando l’ultima nota di un tetracordo coincide con la prima del seguente)
- o per disgiunzione: quando i due tetracordi sono separati da un intervallo di un tono.
L’associazione di 2 tetracordi congiunti costituisce un sistema di 7 note
L’associazione di 2 tetracordi disgiunti costituisce un sistema di ottava (diapason oppure harmonia secondo i pitagorici)

Sistema heptachordon
Si hipate
Do1 parhypate
Re1 lichanos
Mi1 mese
Fa1 trite
Sol1 paranete
La1 nete

Sistema oktachordon (diapason, harmonia)
Mi hypate
Fa parhypate
Sol lichanos
La mese
Si paramese
Do1 trite
Re1 paranete
Mi1 nete

I nomi delle note non indicano altezze di suono in assoluto ma relazioni tra nota e nota all’interno del sistema:
1 hypate, la più alta, l’estrema… in realtà la nota più bassa in quanto essa era la corda più lontana dal corpo del suonatore
2 parhypate, la corda vicina all’hipate,
3 lichanos, la corda toccata dal dito indice
4 mese la corda di mezzo
5 paramese la corda accanto alla mese
6 trite la 3a corda partendo dalla più alta
7 paranete la corda accanto alla nete
8 nete la corda ultima in quanto fu aggiunta più tardi alle altre; era ad intervallo di ottava dalla hypate.
La nota che nei sistemi perfetti è aggiunta al grave, prima dell’hipate è denominata suono aggiunto.
- Sistema perfetto minore = sistema teleion elaton, associazione di 3 tetracordi congiunti con una nota aggiunta al grave
- Sistema perfetto maggiore = sistema teleion meizon, associazione di 2 coppie di tetracordi congiunti separati da un tono di disgiunzione, con l’aggiunta di una nota al grave

Sistema perfetto minore (la, si, do1, re1, mi1, fa1, sol1, la1, sibemolle1, do2, re2)
Sistema perfetto maggiore (la, si, do1, re1, mi1, fa1, sol1, la1si1, do2, re2, mi2, fa2, sol2, la2)

Sistema perfetto immutabile = sistema teleion ametabolon, associazione dei 2 sistemi perfetti, il maggiore ed il minore in un’unica successione di note.
(La, si, do1, re1, mi1, fa1, sol1, la1, sibem1, si1, do2, re2, mi2, fa2, sol2, la2)

Si deve sempre tenere presente che le denominazioni antiche delle note non si riferiscono a suoni di altezza determinata ma indicano solo le differenze di posizione delle note stesse l’una nei confronti dell’altra
Ai sistemi aristossenici non può essere attribuita alcuna significanza nella pratica musicale, proprio per la mancanza di riferimenti a suoni concreti reali dobbiamo pensare che furono concepiti solo come schemi astratti di successione dei tetracordi. Come modelli di posizione degli intervalli in uno spazio che arriva fino alla doppia ottava utilizzabile esclusivamente nella ricerca teorica.
All’interno del sistema perfetto maggiore, se si mantiene fissa la disposizione degli intervalli nella successione scendente di semitono, tono, tono (genere diatonico) nei tetracordi che lo compongono e se si prendono in considerazione solo i 4 tetracordi congiunti a due a due, trascurando il suono della nota al grave si possono individuare 7 specie di ottava:
si – si1 = ST- T- T- ST- T- T- T
do1– do2 = T- T- ST - T - T- T- ST
re1 – re2 = T – ST – T – T- T- ST – T
mi1 – mi2 = ST – T- T- T – ST – T- T
fa1 – fa2 = T - T- T- ST – T- T- ST
sol1 – sol2 = T- T- ST- T- T – ST- T
la1 – la2 = T – ST- T- T- ST- T- T
Se si considera che tra le diverse specie di ottava la differenza è determinata soltanto dalla disposizione degli interavalli di tono e semitono, esse dovrebbero essere considerate dei veri e propri modi come i nostri “maggiore e minore” che si distinguono l’uno dall’altro per la diversa posizione occupata nella scala di ottava dagli intervalli di semitono, ma per poter parlare di modalità nel senso moderno anche per la musica greco antica si dovrebbe individuare in ogni specie di ottava una nota con la caratteristica della tonica nel nostro sistema tonale, una nota che costituisca la base tonale dell’ottava intera. Ma il concetto di modalità (disposizione degli intervalli all’interno dell’ottava) è proprio della musica della Chiesa nel tardo medioevo.
Il sistema base della musica greca fu il tetracordo, non l’ottava, di conseguenza è molto difficile pensare ad una teoria musicale basata su principi di tonalità e modalità che presuppongono una particolare gerarchia di note ed una certa disposizione di intervalli all’interno dell’ottava, di fronte a duna pratica musicale nella quale invece contavano soprattutto i generi cioè le disposizioni degli intervalli all’interno dei tetracordi ed i modi di associazione dei tetracordi stessi, congiunti o disgiunti. Le specie di ottava furono probabilmente astratti modelli teorici di associazioni di intervalli.