Il legame che unisce la matematica e la musica nel corso della storia si rinvigorisce nell’epoca attuale, grazie ai contributi degli studi di psico-acustica ed allo sviluppo dell’elettronica.
Unendo i dati che ho raccolto nel blog ed il materiale messo su Blackboard per l’esame, ho cercato di evidenziare i momenti più salienti di un argomento così vasto e che non può certo esaurirsi in questo modo.
Ho ricavato il materiale da:
-vari libri di storia della musica ed in particolare dalla lettura di “Penna, pennello e bacchetta” di Odifreddi
-appunti del Conservatorio
-un manuale di psicoacustica “La scienza del suono” e “le corde vibranti, l’orecchio, la musica” di Arthur Benade
-Iinternet
-Garzantine
- mi è anche stato consigliato di leggere materiale di Scimemi…ma questo mi prometto di farlo in futuro, per questione di tempo….
Gli spunti sono stati infiniti ed unirli in un discorso unitario e stato molto impegnativo anche a motivo della necessaria selezione che ho dovuto operare.
Riguardo la preparazione dell’esame ho trovato qualche difficoltà anche nel destreggiarmi con QQ.storie ma grazie alla carità cristiana di alcune ragazze che mi hanno aiutata sono riuscita ad uscire dal tunnel.
In generale la preparazione dell’esame si è risolta in un coinvolgimento sempre più vorticoso che è cresciuto a mano a mano che passavano i giorni. La matematica, la logica, l’ordine ed il disordine sono l’essenza (come diceva Pitagora) della nostra vita ma non mi ero mai fermata a riflettere abbastanza. La matematica non si risolve nelle tabelline, nelle operazioni, nelle regole mnemoniche imparate scuola, o meglio, tutto ciò che la scuola mi aveva insegnato fin’ora era solo uno strato superficiale ed in più distaccato dalla realtà, uno strato appartenente ad un mondo perfetto ma parallelo alla dimensione della quotidianità….invece ho scoperto che ogni cosa che faccio implica la matematica. La mia è diventata quasi una malattia, ogni azione più o meno banale della mia giornata è carica di significato matematico e non riesco più a fare a meno di riconoscerlo. Si è chiusa la porta della matematica tradizionale e mi si è aperto il portone della matematica, vera, sincera e gratificante. Spero solo di non affievolire nel tempo l’opportunità che mi è stata data e spero un giorno di poterla trasmettere a qualcuno anch’io. Per ora mi esercito con le persone che mi sono a fianco ed ho notato che questo nuovo approccio, diverte, interessa ed è contagioso…a partire dagli indovinelli matematici, dalla nuova ottica con cui si leggono i giornali, alla constatazione di quanto i numeri fanno parte della vita di ognuno.
giovedì 22 maggio 2008
Musica Generativa
L’universo vive di suoni, lo diceva Pitagora…
Il frattale è geometria e logica ma anche musica.
Fin’ora ho affrontato solo l’aspetto visivo dei frattali. Essendo funzioni matematiche, è altrettanto possibile associarvi una rappresentazione sonora. L'effetto è meno diretto e sicuramente non altrettanto gradevole. L'altezza e la durata di una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l'autosimilarità che è così chiara nelle immagini. Esattamente come nella rappresentazione convenzionale, abbiamo a che fare con un "ordine nel disordine", un caos deterministico. Un brano di musica che consiste di note scelte a caso ci risulta fastidioso, così come la ripetizione senza fine dello stesso motivo diventa implacabilmente noiosa. A tutti noi piacciono suoni che abbiano una loro struttura e varietà.
In natura esistono tre tipi di rumori = noise
- rumore bianco, meglio conosciuto come white noise; - rumore marrone, meglio conosciuto come brown noise; - rumore rosa, meglio conosciuto come pink noise.
Il white noise è il suono che si ode, ad esempio, quando la radio non è sintonizzata su una stazione: esso è del tutto casuale, e la sua ampiezza e frequenza a un dato momento è indipendente dagli istanti precedenti.
Il brown noise è più strutturato del white noise, in esso sono presenti ugualmente suoni casuali, ma collegati ognuno al precedente da una regola.
Infine, il pink noise, che è più strutturato del bianco, ma meno strutturato del marrone; esso è più gradevole all'orecchio di quello bianco, forse troppo casuale, e di quello marrone, forse troppo rigido.
Applicati alla musica, i procedimenti frattali offrono risultati molto promettenti; la loro dinamica caotica offre, infatti, quel miscuglio di regole ed imprevedibilità che tanto affascina l'animo umano.Per realizzare una musica frattale, preparata una curva opportuna, e disegnato su di essa un pentagramma, si dispongono poi le note in modo da ottenere la migliore musicalità. Solitamente un'altra curva frattale stabilisce la durata del suono stesso.
Esistono programmi specifici per generare le melodie in modo automatico, quindi l’informatica apre molteplici porte tutte da scoprire.
L’applicazione dell’intelligenza artificiale, o più semplicemente di processi d’elaborazione sintetici e autonomi, alla musica è ancora lontana dall’essere realizzata e non è paragonabile al livello raggiunto dalle composizioni intellettuali dell’uomo. L’idea di «musica automatica», a ogni modo, non è certo nuovissima, come si sarebbe portati a pensare: già nel 1787 a misurarsi con tali congetture fu Mozart che in quell’anno scrisse le istruzioni e le misure di un sistema di composizione per minuetto ottenuto attraverso un gioco di dadi. Basandosi sulle 176 possibili misure per un minuetto e 96 possibili forme ternarie, il genio austriaco compilò una tabella di regole per associare ai risultati delle giocate le rispettive note. In pratica questo è stato il primo algoritmo di composizione generativa.Da allora la matematica ha fatto parte di diverse sperimentazioni musicali, sia colte sia pop, ma per ritrovare la generazione musicale spontanea si deve tornare ai giorni nostri, dapprima con i tentativi più concettuali di Steve Reich e Terry Riley, e poi con uno dei più famosi guru dell’elettronica: Brian Eno. Già con uno dei suoi primi lavori seminali, Discreet Music del 1975, il celebre autore inglese si interessò alla produzione spontanea di esperienze musicali. In uno dei brani di questo album due semplici cicli melodici di diversa durata si ripetono separatamente, potendo così sovrapporsi in maniera arbitraria. Per esempio, un ciclo di 30 secondi e uno di 50 secondi si sovrappongono perfettamente ogni 1.500 secondi (30 moltiplicato 50). Di qui l’uso di diversi registratori a nastro, ciascuno contenente un ciclo, fatti suonare tutti insieme, in modo che lo stesso suono perfettamente sincrono sarebbe stato ripetuto solo dopo anni. Il passo successivo è venuto dall’utilizzo della tecnologia digitale non solo per raffinare questa tecnica, ma per evolverla, introducendo variabili probabilistiche che variassero davvero il brano a ogni esecuzione, specificando solo il dominio musicale entro cui comporre la sua struttura e i parametri su cui svilupparlo.
Esiste un software, specializzato in quest’ambito, che usa il programma Koan, che sfrutta adeguatamente le comuni schede audio dei Pc.
Si possono anche scaricare i parametri necessari a generare il brano desiderato con il proprio hardware, un po’ come un file Midi, ma non definito nota per nota, bensì autogenerato a partire da alcuni dati. Un vantaggio immediato è che le dimensioni totali del file sono completamente indipendenti dalla durata della sua esecuzione, e quindi risulteranno davvero minime, in genere dai 5 ai 20 KB, oltre, come già detto, a non suonare mai sempre allo stesso modo. Per motivi strategici e di marketing, quindi, la SSEYO, la software house sta ora ribattezzando i suoi prodotti come Koan Audio Vectors, ossia «audio vettoriale».
Non mancano i software gratuiti che permettono di sperimentare col proprio Pc la creazione di brani che si autogenerano.
La Algorithmic Arts , per esempio, è una piccola casa di software che ha come prodotto di punta SoftStep, un sequencer per Windows che integra tool di composizione di diverso tipo, inclusi quelli che generano melodie basate su algoritmi frattali, a partire dalla teoria del caos, su basi probabilistiche e numeriche.
Anche The Well-Tempered Fractal v 3.0, sviluppa ambiti frattali e legati alla teoria del caos, ed è completamente gratuito per Windows 95, completo di Midi d’esempio.
Come pure MusiNum , sempre freeware per Windows che genera musica frattale attraverso successioni di cifre ottenute con semplici somme, composte secondo la teoria dei numeri e associate attraverso i principi di similarità autoreferenziale. Tangent, infine, un altro freeware per Windows 95/98, evoluzione del precedente QuasiFractal Composer, usa metodi algoritmici, euristici, deterministici, stocastici, generativi e trasformativi, sintetizzando diversi approcci alla generazione automatica. Il suo autore insiste a definirne l’approccio come «eclettico neo-generativo», ma in termini più pragmatici basta dire che la particolarità di questo programma è che si basa sulle strutture più che sulle singole note. Dai frattali agli algoritmi genetici il passo è breve. Genetic Jammer è un programma basato proprio su queste tecniche che impara a suonare assoli jazz d’improvvisazione, comunicando attraverso lo standard Midi con i suoi partner «umani». Ma è pur vero che in natura, comunque, si trovano numerose sequenze simmetriche che possono ispirare inediti accostamenti. Uno di questi è il patrimonio genetico, visto come la complessa struttura del Dna, e proprio a quest’associazione sono ricorsi i due musicisti Susan Alexjander e David Deamer che hanno ribattezzato le loro creazioni come DNA Music , associando alle basi le note di un sistema a quattro toni. Una sorta di reverse engineering, invece, è stata compiuta da David Cope, uno studioso californiano che ha sviluppato EMI – Experiments in Musical Intelligence arts.ucsc.edu/faculty/cope/mi.midi.html. EMI è un software che analizza i brani e ne isola melodie e ritmi ricorrenti, componendo poi sulla base di queste strutture. I risultati sono tanto convincenti che hanno ingannato un pubblico attento in una dimostrazione pubblica in cui furono messi a confronto brani originali di Bach con quelli generati da EMI. Va aggiunto che, comunque, gli algoritmi utilizzati funzionano egregiamente con stili molto ripetitivi (come Bach, appunto), mentre fanno cilecca con quelli che variano molto.Lo stesso Eno definisce la musica generativa come «tanto ignorabile, quanto interessante», ma ipotizza anche in maniera inquietante che i nostri nipoti un giorno ci potrebbero guardare stupiti e chiedere: «Ma davvero tu ascoltavi esattamente lo stesso brano per tante volte di seguito?». Trascurando un futuro, non troppo distante, in cui creature sviluppate ad hoc – come la pop star Kyoko Date di qualche anno fa, a cui si ispirava l’Aidoru dell’omonimo romanzo di William Gibson – confermino la raffinata concezione di creare non più soltanto un’opera musicale autonoma, ma un essere (antropomorfo o meno) che, a partire dai nostri modelli mentali, sarebbe in grado di produrre contenuti sempre diversi e originali, sorprendendoci proprio come i nostri simili.
Il frattale è geometria e logica ma anche musica.
Fin’ora ho affrontato solo l’aspetto visivo dei frattali. Essendo funzioni matematiche, è altrettanto possibile associarvi una rappresentazione sonora. L'effetto è meno diretto e sicuramente non altrettanto gradevole. L'altezza e la durata di una nota è scelta con lo stesso criterio con cui viene scelto il colore nella rappresentazione grafica di un punto. Ascoltando la melodia, ci si accorge di alcune regolarità e della ricorrenza di alcuni temi: è proprio questo che evidenzia l'autosimilarità che è così chiara nelle immagini. Esattamente come nella rappresentazione convenzionale, abbiamo a che fare con un "ordine nel disordine", un caos deterministico. Un brano di musica che consiste di note scelte a caso ci risulta fastidioso, così come la ripetizione senza fine dello stesso motivo diventa implacabilmente noiosa. A tutti noi piacciono suoni che abbiano una loro struttura e varietà.
In natura esistono tre tipi di rumori = noise
- rumore bianco, meglio conosciuto come white noise; - rumore marrone, meglio conosciuto come brown noise; - rumore rosa, meglio conosciuto come pink noise.
Il white noise è il suono che si ode, ad esempio, quando la radio non è sintonizzata su una stazione: esso è del tutto casuale, e la sua ampiezza e frequenza a un dato momento è indipendente dagli istanti precedenti.
Il brown noise è più strutturato del white noise, in esso sono presenti ugualmente suoni casuali, ma collegati ognuno al precedente da una regola.
Infine, il pink noise, che è più strutturato del bianco, ma meno strutturato del marrone; esso è più gradevole all'orecchio di quello bianco, forse troppo casuale, e di quello marrone, forse troppo rigido.
Applicati alla musica, i procedimenti frattali offrono risultati molto promettenti; la loro dinamica caotica offre, infatti, quel miscuglio di regole ed imprevedibilità che tanto affascina l'animo umano.Per realizzare una musica frattale, preparata una curva opportuna, e disegnato su di essa un pentagramma, si dispongono poi le note in modo da ottenere la migliore musicalità. Solitamente un'altra curva frattale stabilisce la durata del suono stesso.
Esistono programmi specifici per generare le melodie in modo automatico, quindi l’informatica apre molteplici porte tutte da scoprire.
L’applicazione dell’intelligenza artificiale, o più semplicemente di processi d’elaborazione sintetici e autonomi, alla musica è ancora lontana dall’essere realizzata e non è paragonabile al livello raggiunto dalle composizioni intellettuali dell’uomo. L’idea di «musica automatica», a ogni modo, non è certo nuovissima, come si sarebbe portati a pensare: già nel 1787 a misurarsi con tali congetture fu Mozart che in quell’anno scrisse le istruzioni e le misure di un sistema di composizione per minuetto ottenuto attraverso un gioco di dadi. Basandosi sulle 176 possibili misure per un minuetto e 96 possibili forme ternarie, il genio austriaco compilò una tabella di regole per associare ai risultati delle giocate le rispettive note. In pratica questo è stato il primo algoritmo di composizione generativa.Da allora la matematica ha fatto parte di diverse sperimentazioni musicali, sia colte sia pop, ma per ritrovare la generazione musicale spontanea si deve tornare ai giorni nostri, dapprima con i tentativi più concettuali di Steve Reich e Terry Riley, e poi con uno dei più famosi guru dell’elettronica: Brian Eno. Già con uno dei suoi primi lavori seminali, Discreet Music del 1975, il celebre autore inglese si interessò alla produzione spontanea di esperienze musicali. In uno dei brani di questo album due semplici cicli melodici di diversa durata si ripetono separatamente, potendo così sovrapporsi in maniera arbitraria. Per esempio, un ciclo di 30 secondi e uno di 50 secondi si sovrappongono perfettamente ogni 1.500 secondi (30 moltiplicato 50). Di qui l’uso di diversi registratori a nastro, ciascuno contenente un ciclo, fatti suonare tutti insieme, in modo che lo stesso suono perfettamente sincrono sarebbe stato ripetuto solo dopo anni. Il passo successivo è venuto dall’utilizzo della tecnologia digitale non solo per raffinare questa tecnica, ma per evolverla, introducendo variabili probabilistiche che variassero davvero il brano a ogni esecuzione, specificando solo il dominio musicale entro cui comporre la sua struttura e i parametri su cui svilupparlo.
Esiste un software, specializzato in quest’ambito, che usa il programma Koan, che sfrutta adeguatamente le comuni schede audio dei Pc.
Si possono anche scaricare i parametri necessari a generare il brano desiderato con il proprio hardware, un po’ come un file Midi, ma non definito nota per nota, bensì autogenerato a partire da alcuni dati. Un vantaggio immediato è che le dimensioni totali del file sono completamente indipendenti dalla durata della sua esecuzione, e quindi risulteranno davvero minime, in genere dai 5 ai 20 KB, oltre, come già detto, a non suonare mai sempre allo stesso modo. Per motivi strategici e di marketing, quindi, la SSEYO, la software house sta ora ribattezzando i suoi prodotti come Koan Audio Vectors, ossia «audio vettoriale».
Non mancano i software gratuiti che permettono di sperimentare col proprio Pc la creazione di brani che si autogenerano.
La Algorithmic Arts , per esempio, è una piccola casa di software che ha come prodotto di punta SoftStep, un sequencer per Windows che integra tool di composizione di diverso tipo, inclusi quelli che generano melodie basate su algoritmi frattali, a partire dalla teoria del caos, su basi probabilistiche e numeriche.
Anche The Well-Tempered Fractal v 3.0, sviluppa ambiti frattali e legati alla teoria del caos, ed è completamente gratuito per Windows 95, completo di Midi d’esempio.
Come pure MusiNum , sempre freeware per Windows che genera musica frattale attraverso successioni di cifre ottenute con semplici somme, composte secondo la teoria dei numeri e associate attraverso i principi di similarità autoreferenziale. Tangent, infine, un altro freeware per Windows 95/98, evoluzione del precedente QuasiFractal Composer, usa metodi algoritmici, euristici, deterministici, stocastici, generativi e trasformativi, sintetizzando diversi approcci alla generazione automatica. Il suo autore insiste a definirne l’approccio come «eclettico neo-generativo», ma in termini più pragmatici basta dire che la particolarità di questo programma è che si basa sulle strutture più che sulle singole note. Dai frattali agli algoritmi genetici il passo è breve. Genetic Jammer è un programma basato proprio su queste tecniche che impara a suonare assoli jazz d’improvvisazione, comunicando attraverso lo standard Midi con i suoi partner «umani». Ma è pur vero che in natura, comunque, si trovano numerose sequenze simmetriche che possono ispirare inediti accostamenti. Uno di questi è il patrimonio genetico, visto come la complessa struttura del Dna, e proprio a quest’associazione sono ricorsi i due musicisti Susan Alexjander e David Deamer che hanno ribattezzato le loro creazioni come DNA Music , associando alle basi le note di un sistema a quattro toni. Una sorta di reverse engineering, invece, è stata compiuta da David Cope, uno studioso californiano che ha sviluppato EMI – Experiments in Musical Intelligence arts.ucsc.edu/faculty/cope/mi.midi.html. EMI è un software che analizza i brani e ne isola melodie e ritmi ricorrenti, componendo poi sulla base di queste strutture. I risultati sono tanto convincenti che hanno ingannato un pubblico attento in una dimostrazione pubblica in cui furono messi a confronto brani originali di Bach con quelli generati da EMI. Va aggiunto che, comunque, gli algoritmi utilizzati funzionano egregiamente con stili molto ripetitivi (come Bach, appunto), mentre fanno cilecca con quelli che variano molto.Lo stesso Eno definisce la musica generativa come «tanto ignorabile, quanto interessante», ma ipotizza anche in maniera inquietante che i nostri nipoti un giorno ci potrebbero guardare stupiti e chiedere: «Ma davvero tu ascoltavi esattamente lo stesso brano per tante volte di seguito?». Trascurando un futuro, non troppo distante, in cui creature sviluppate ad hoc – come la pop star Kyoko Date di qualche anno fa, a cui si ispirava l’Aidoru dell’omonimo romanzo di William Gibson – confermino la raffinata concezione di creare non più soltanto un’opera musicale autonoma, ma un essere (antropomorfo o meno) che, a partire dai nostri modelli mentali, sarebbe in grado di produrre contenuti sempre diversi e originali, sorprendendoci proprio come i nostri simili.
domenica 18 maggio 2008
CASALINGHE
...dunque...la prova T03 dell'esame di matematica riguarda..."un genio".
Io ho già fatto l' intervista, al mio datore di lavoro, Don Igino...ma stavo pensando che il vero genio è la CASALINGA DELLA PORTA ACCANTO...LE CASALINGHE!!!
Alla mattina vanno a fare la spesa con i 4 soldi che il marito può tirar via dalla pensione...
fanno la spesa e nonostante la miseria, riscono a tenersi da parte qualche spicciolo per giocare al lotto! e poi tutti i giorni "ti mettono davanti un PIATTO NUOVO, o almeno lo spacciano tale...un giorno fusilli al pomodoro, il giorno dopo rigatoni con pelati, il terzo spaghetti con pomodoro al basilico....non dicono polenta e merluzzo ma pasticcio di mais e pesce del mar Baltico!
L'italia è fatta di geni!...e più andiamo avanti più ce ne saranno!!!
Io ho già fatto l' intervista, al mio datore di lavoro, Don Igino...ma stavo pensando che il vero genio è la CASALINGA DELLA PORTA ACCANTO...LE CASALINGHE!!!
Alla mattina vanno a fare la spesa con i 4 soldi che il marito può tirar via dalla pensione...
fanno la spesa e nonostante la miseria, riscono a tenersi da parte qualche spicciolo per giocare al lotto! e poi tutti i giorni "ti mettono davanti un PIATTO NUOVO, o almeno lo spacciano tale...un giorno fusilli al pomodoro, il giorno dopo rigatoni con pelati, il terzo spaghetti con pomodoro al basilico....non dicono polenta e merluzzo ma pasticcio di mais e pesce del mar Baltico!
L'italia è fatta di geni!...e più andiamo avanti più ce ne saranno!!!
venerdì 16 maggio 2008
MUSICA E FRATTALI
Un primo compendio di pagine a cui dare un’occhiata, ricco d’informazioni specifiche quasi come un mini-portale, è Fractal Music Lab che, come un piccolo bignami riporta sinteticamente tutte le teorie principali ed è fornito di una nutrita sezione di link da consultare per approfondire le diverse branche in cui sfocia la trattazione.
Fiocco di neve di von Koch
...è un esempio di frattale semplice nata come esempio di curva priva di tangente in alcun punto: si prende un segmento (lungo 3 unità) lo si taglia in 3 parti e si sostituisce quella centrale con due segmentini uguali a quello eliminato ottenendo una lunghezza pari a (4/3)^1; ora si ripete l'operazione con ciascuno dei quattro segmenti così ottenuti ottenendo una lunghezza di (4/3)^2 e poi si continua a ripeterla per un numero infinito di volte. La curva che si ottiene dopo un numero infinito di iterazioni è una curva frattale e come tutte le curve frattali è dotata di affascinanti proprietà matematiche, facili da intuire ma, spesso, difficili da dimostrare. La sua lunghezza è ( 4/3)^p cioè infinita quando p aumenta all'infinito.
triangolo di Sierpinski
Fra i primi frattali studiati, un posto d'onore occupa il cosiddetto triangolo di Sierpinski (o Gerla di Sierpinski), dal nome del matematico che per primo ne ha studiato le proprietà. Si tratta di un frattale molto semplice da ottenere anche per via geometrica elementare.
Da un punto di vista strettamente geometrico viene generato con una serie di rimozioni. Si inizia con un quadrato pieno da cui si rimuove un quadratino di lato pari alla metà del quadrato iniziale, in modo da ottenere una figura, formata da tre quadrati. Da ciascuno di questi quadrati si elimina il quadratino in basso a destra e si ottiene una figura formata da nove quadratini. In questo modo si continua ogni volta fino ad arrivare al risultato finale. Infine è evidente l'autosimilarità: la figura si può dividere in tre parti tutte e tre simili all'intero frattale.
Da un punto di vista strettamente geometrico viene generato con una serie di rimozioni. Si inizia con un quadrato pieno da cui si rimuove un quadratino di lato pari alla metà del quadrato iniziale, in modo da ottenere una figura, formata da tre quadrati. Da ciascuno di questi quadrati si elimina il quadratino in basso a destra e si ottiene una figura formata da nove quadratini. In questo modo si continua ogni volta fino ad arrivare al risultato finale. Infine è evidente l'autosimilarità: la figura si può dividere in tre parti tutte e tre simili all'intero frattale.
il CASO
Con ordine, anche se con un ordine incredibilmente complicato..il caos dirige diligentemente tutte le operazioni alla base della vita, riducendo il globale tessuto connettivo della natura, in un unico, per quanto intricato sia, sistema frattale. la natura però è creata con casualità ed i frattali possono diventare più realistici se tengono conto della casualità della natura e riproducono i suoi dati statistici. Occorre che ogni parte del frattale abbia le stesse proprietà statistiche. Introducendo una certa casualità nella costruzione si potrebbe stabilire di lasciare al caso la decisione di creare una spirale verso sinistra o verso destra a seconda della disposizione dei lati dei triangoli rettangoli. Questa introduzione di piccoli disturbi nella costruzione di frattali rende questi ultimi più simili a oggetti naturali come alberi, piante, coralli e spugne. Si è sviluppata quindi una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura. I risultati a volte sono stati stupefacenti. Uno dei frattali biomorfi più riusciti è la foglia di felce i cui dettagli, detti autosimili, riproducono sempre la stessa figura
Ci sono diversi modi di introdurre il caso nella costruzione dei frattali e oggi ci sono programmi per computer che possono creare lunghe serie arbitrarie di numeri casuali.Si può vedere come i frattali siano influenzati da una certa casualità controllata. Tutto deriva dal primo numero, quindi è una sequenza deterministica, ma dà l'impressione che sia caotica. Un buon metodo molto pratico per i frattali basato sulla casualità è pensare al fatto che i frattali sono formati da un numero infinito di punti e che si può rappresentare solo una frazione di essi, un illusione della loro completezza. Analizzando ad esempio l'albero di Pitagora scopriamo che sono stati rappresentati solo i primi 12 passaggi.
Ci sono diversi modi di introdurre il caso nella costruzione dei frattali e oggi ci sono programmi per computer che possono creare lunghe serie arbitrarie di numeri casuali.Si può vedere come i frattali siano influenzati da una certa casualità controllata. Tutto deriva dal primo numero, quindi è una sequenza deterministica, ma dà l'impressione che sia caotica. Un buon metodo molto pratico per i frattali basato sulla casualità è pensare al fatto che i frattali sono formati da un numero infinito di punti e che si può rappresentare solo una frazione di essi, un illusione della loro completezza. Analizzando ad esempio l'albero di Pitagora scopriamo che sono stati rappresentati solo i primi 12 passaggi.
"ALBERO DI PITAGORA"
Il frattale è una figura complessa di grande bellezza estetica che può essere rappresentata grazie all’ausilio e alle potenzialità dei computer grafici attraverso un’equazione matematica “iterativa” cioè che ritorna su sé stessa includendo il risultato ottenuto nella successiva equazione. Grazie alla elaborazione del computer, ne derivano figure geometriche e colori di una bellezza sorprendente
“ALBERO DI PITAGORA” spirale di Bosman del 1957, (La geometria nel pianeta) costruita sul sistema binario.
Un quadrato ha un lato in comune con un triangolo rettangolo isoscele, che a sua volta ha gli altri due lati in comune con altri due quadrati e così via. La somma delle aree dei due quadrati più piccoli, per il teorema di Pitagora, è uguale all'area del quadrato iniziale e così anche le aree dei quadrati che si formano nei passaggi successivi, sommate, daranno l'area del primo quadrato. Si può avere un albero asimmetrico semplicemente costruendo un triangolo rettangolo qualsiasi sul lato del primo quadrato
La forma avvolta non è altro che una spirale logaritmica
Si possono creare infinite spirali partendo dai quadrati. L'albero di Pitagora è un buon esempio di frattale matematico.
Vi sono anche frattali a forma di stella, costruiti per esempio con una linea chiusa e successivi segmenti che si incrociano tutti con lo stesso angolo.
Altri esempi....e sempre Pitagora
I frattali con le loro forme misteriose ed affascinanti suscitano al nostra meraviglia e ci colpiscono innanzitutto per la loro bellezza.
Miracolose figure geometriche della natura prime fra tutte la spirale a cui si interessò già Archimede, e su cui scrisse anche un trattato “Sulle Spirali”
DNA, nucleo cellulare che è costituito da una lunga catena a spirale, e che riporta l'intero codice genetico.
L’ammonite forma di un organismo vissuto 300.000.000 di anni fa.
GALASSIA a spirale tra cui la nostra via Lattea = è costituita da un nucleo denso di stelle vecchie quanto la galassia attorno a cui orbitano le altre stelle. Le braccia di spirale dipartono dal centro della galassia formando un disco del diametro di 100.000 anni luce. I bracci di spirale contengono le stelle più giovani, da poche decine di milioni a qualche miliardo di anni. I bracci di spirale non contengono solo stelle ma anche gas e polveri. Il sole si trova alla periferia della galassia, a circa 28.000 anni luce dal centro ed impiega 250.000.000 di anni per descrivere un’orbita completa attorno al centro della Via Lattea. Forse fra poco potremmo dire anche addio all’idea che l’universo sia nato dal big bang come singola palla di fuoco. Studiosi stanno esplorando una nuova teoria basata sull’ipotesi, enunciata ormai 15 anni fa, che l’universo abbia attraversato uno stadio di inflazione. La teoria afferma che durante questo stadio, il cosmo si ampliò esponenzialmente in una infinitesima frazione di secondo, dopo di che l’Universo continuò la propria evoluzione secondo il modello del big bang. Via via che gli studiosi hanno perfezionato lo scenario dell’ inflazione, sono venute in luce alcune conseguenze sorprendenti, una della quali rappresenta un cambiamento
fondamentale nella visione del cosmo. Secondo le versioni più recenti della teoria inflazionarla l’universi anzichè essere una palla di fuoco in espansione sarebbe un immenso frattale che cresce continuamente…esso sarebbe costituito da molte sfere che si rigonfiano, le quali producono nuove sfere che a loro volta ne generano altre, all’ infinito.
Le spirali sono anche alla base dei frattali.
La spirale è una figura geometrica, un frattale molto semplice costituita da una linea che ruota attorno ad un centro e mano a mano si allontana da esso. Si può dire che le spirali siano alla base dle mondo vivente
Se poi pensiamo che “tutto” il nostro corpo può essere considerato “un frattale noi stessi siamo la dimostrazione dell’esistenza di questa armonia universale di cui parlava Pitagora.
FISIOLOGIA UMANA: la geometria frattale si può applicare anche nel campo biologico scientifico, un frattale infatti consiste di frammenti geometrici di grandezza ed orientamento variabili ma con forma simile. Nel corpo umano: neuroni, fibre nervose, muscolo cardiaco, vasi sanguigni, intestino, albero bronchiale. Strutture anatomiche di tipo frattale che fanno da supporto a funzioni diversi in organi diversi ma hanno in comune tratti fisiologici e strutturali. Ramificazioni o ripiegature frattali amplificano enormemente la superficie disponibile per l’assorbimento (intestino), per l’elaborazione delle informazioni (reti di neuroni), e per la distribuzione e della raccolta dei soluti (vasi sanguigni, dotti biliari e albero bronchiale). Se si pensa che la capacità respiratoria di un animale è direttamente correlata alla superficie dei suoi polmoni, e che questi in un individuo normale, occupano uno spazio grande quasi come un campo da tennis, si comprende quanto efficace sia stata la scelta frattale fatta dalla natura per lo sviluppo dei nostri organi.
NEURONI; hanno una struttura simile ai frattali, se si esaminano a basso ingrandimento si possono osservare ramificazioni asimmetriche (i dendriti) connesse con i corpi cellulari, a ingrandimento leggermente superiore si osservano ramificazioni più piccole a partire da quella più grandi e così dicendo. Anche se la ramificazione dei neuroni ad un certo punto si ferma, i frattali ideali possiedono infiniti dettagli, il fatto più notevole è che questi ultimi ad una certa scala sono simili (seppur non necessariamente identici) a quelli della struttura vista ad ingrandimento maggiore o minore.
CUORE: centro funzionale dell’apparato circolatorio, è un muscolo striato involontario dalle dimensioni di una grossa mela che pompa 5 litri di sangue al minuto. Nel cuore, le strutture frattali hanno un ruolo vitale nella meccanica della contrazione e nella condizione dello stimolo elettrico eccitatorio, per esempio una rete frattale di arterie e vene coronarie trasporta sangue da e verso il cuore. La geometria frattale è usata per spiegare alcune anomalie nelle modalità del flusso sanguigno coronario, la cui interruzione può causare l’infarto miocardio. Inoltre un intreccio frattale di fibre di tessuto connettivo all’ interno del cuore lega le valvole mitrale e tricuspide al muscolo sottostante, se questi tessuti dovessero rompersi vi sarebbe un forte rigurgito di sangue dai ventricoli agli atrii, seguito da insufficienza cardiaca.
Intricatissima microrete dei vasi capillari
ARTE : armonia e bellezza e frattali
L’equilibrio di proporzioni fra le parti è molto importante nelle opere d’arte. Il segreto della bellezza e dell’armonia della facciata di Santa Maria Novella Firenze risiede nella rigorosa grigia di proporzioni che lega le parti tra loro e queste all’insieme. La facciata si inscrive in un quadrato avente il lato che coincide con la linea di base della chiesa. Suddividendo questo quadrato in 16 parti si scandiscono le sezioni fondamentali della facciata, la zone inferiore, l’ordine superiore, gli ingressi. Spartendo ancora questi quadrati in quadrati ancor più piccoli (1/16 del quadrato di partenza) si vengono a determinare le altre misure dell’edificio.
Miracolose figure geometriche della natura prime fra tutte la spirale a cui si interessò già Archimede, e su cui scrisse anche un trattato “Sulle Spirali”
DNA, nucleo cellulare che è costituito da una lunga catena a spirale, e che riporta l'intero codice genetico.
L’ammonite forma di un organismo vissuto 300.000.000 di anni fa.
GALASSIA a spirale tra cui la nostra via Lattea = è costituita da un nucleo denso di stelle vecchie quanto la galassia attorno a cui orbitano le altre stelle. Le braccia di spirale dipartono dal centro della galassia formando un disco del diametro di 100.000 anni luce. I bracci di spirale contengono le stelle più giovani, da poche decine di milioni a qualche miliardo di anni. I bracci di spirale non contengono solo stelle ma anche gas e polveri. Il sole si trova alla periferia della galassia, a circa 28.000 anni luce dal centro ed impiega 250.000.000 di anni per descrivere un’orbita completa attorno al centro della Via Lattea. Forse fra poco potremmo dire anche addio all’idea che l’universo sia nato dal big bang come singola palla di fuoco. Studiosi stanno esplorando una nuova teoria basata sull’ipotesi, enunciata ormai 15 anni fa, che l’universo abbia attraversato uno stadio di inflazione. La teoria afferma che durante questo stadio, il cosmo si ampliò esponenzialmente in una infinitesima frazione di secondo, dopo di che l’Universo continuò la propria evoluzione secondo il modello del big bang. Via via che gli studiosi hanno perfezionato lo scenario dell’ inflazione, sono venute in luce alcune conseguenze sorprendenti, una della quali rappresenta un cambiamento
fondamentale nella visione del cosmo. Secondo le versioni più recenti della teoria inflazionarla l’universi anzichè essere una palla di fuoco in espansione sarebbe un immenso frattale che cresce continuamente…esso sarebbe costituito da molte sfere che si rigonfiano, le quali producono nuove sfere che a loro volta ne generano altre, all’ infinito.
Le spirali sono anche alla base dei frattali.
La spirale è una figura geometrica, un frattale molto semplice costituita da una linea che ruota attorno ad un centro e mano a mano si allontana da esso. Si può dire che le spirali siano alla base dle mondo vivente
Se poi pensiamo che “tutto” il nostro corpo può essere considerato “un frattale noi stessi siamo la dimostrazione dell’esistenza di questa armonia universale di cui parlava Pitagora.
FISIOLOGIA UMANA: la geometria frattale si può applicare anche nel campo biologico scientifico, un frattale infatti consiste di frammenti geometrici di grandezza ed orientamento variabili ma con forma simile. Nel corpo umano: neuroni, fibre nervose, muscolo cardiaco, vasi sanguigni, intestino, albero bronchiale. Strutture anatomiche di tipo frattale che fanno da supporto a funzioni diversi in organi diversi ma hanno in comune tratti fisiologici e strutturali. Ramificazioni o ripiegature frattali amplificano enormemente la superficie disponibile per l’assorbimento (intestino), per l’elaborazione delle informazioni (reti di neuroni), e per la distribuzione e della raccolta dei soluti (vasi sanguigni, dotti biliari e albero bronchiale). Se si pensa che la capacità respiratoria di un animale è direttamente correlata alla superficie dei suoi polmoni, e che questi in un individuo normale, occupano uno spazio grande quasi come un campo da tennis, si comprende quanto efficace sia stata la scelta frattale fatta dalla natura per lo sviluppo dei nostri organi.
NEURONI; hanno una struttura simile ai frattali, se si esaminano a basso ingrandimento si possono osservare ramificazioni asimmetriche (i dendriti) connesse con i corpi cellulari, a ingrandimento leggermente superiore si osservano ramificazioni più piccole a partire da quella più grandi e così dicendo. Anche se la ramificazione dei neuroni ad un certo punto si ferma, i frattali ideali possiedono infiniti dettagli, il fatto più notevole è che questi ultimi ad una certa scala sono simili (seppur non necessariamente identici) a quelli della struttura vista ad ingrandimento maggiore o minore.
CUORE: centro funzionale dell’apparato circolatorio, è un muscolo striato involontario dalle dimensioni di una grossa mela che pompa 5 litri di sangue al minuto. Nel cuore, le strutture frattali hanno un ruolo vitale nella meccanica della contrazione e nella condizione dello stimolo elettrico eccitatorio, per esempio una rete frattale di arterie e vene coronarie trasporta sangue da e verso il cuore. La geometria frattale è usata per spiegare alcune anomalie nelle modalità del flusso sanguigno coronario, la cui interruzione può causare l’infarto miocardio. Inoltre un intreccio frattale di fibre di tessuto connettivo all’ interno del cuore lega le valvole mitrale e tricuspide al muscolo sottostante, se questi tessuti dovessero rompersi vi sarebbe un forte rigurgito di sangue dai ventricoli agli atrii, seguito da insufficienza cardiaca.
Intricatissima microrete dei vasi capillari
ARTE : armonia e bellezza e frattali
L’equilibrio di proporzioni fra le parti è molto importante nelle opere d’arte. Il segreto della bellezza e dell’armonia della facciata di Santa Maria Novella Firenze risiede nella rigorosa grigia di proporzioni che lega le parti tra loro e queste all’insieme. La facciata si inscrive in un quadrato avente il lato che coincide con la linea di base della chiesa. Suddividendo questo quadrato in 16 parti si scandiscono le sezioni fondamentali della facciata, la zone inferiore, l’ordine superiore, gli ingressi. Spartendo ancora questi quadrati in quadrati ancor più piccoli (1/16 del quadrato di partenza) si vengono a determinare le altre misure dell’edificio.
Cosa significa frattale?
Il termine (coniato da Mandelbrot nel libro del 1975 “Gli oggetti frattali”) deriva dal latino FRACTUS = rotto, spezzato come il termine frazione
FRATTALI - MATEMATICA - ARMONIA
Il frattale è l’ultima dimostrazione di quella magica armonia che governa tutto l’universo.
Che la natura sia scritta e disegnata con leggi matematiche non è un fatto nuovo e già Galileo ne faceva il punto cardine della sua visione dell’ Universo.
È sufficiente guardarsi intorno per scoprire quante entità "autosimili" siano presenti nel nostro mondo: un cavolfiore e le sue infiorescenze, una nuvola, le coste di un'isola, alcuni organi del corpo umano
Rappresentano bene il connubio tra bellezza, arte e scienza. Partendo dallo studio delle proporzioni notiamo che nell’arte ed in natura esistono tantissime strutture, opere d’arte, piante…in cui il concetto di proporzione è presente, cioè le proporzioni sono alla base dell’armonia e bellezza del mondo
Tantissimi oggetti della natura, molti più di quelli che pensiamo (alberi, montagne, nuvole, foglie, felci, erbe, fiori…di tutti i tipi e di tutte le dimensioni) hanno forme complesse, irregolari, frastagliate, frammentate che rispecchiano curiose proprietà geometriche.
Forme che non corrispondono agli assiomi ed alla geometria euclidea che studiamo a scuola fatta di rette, cerchi, cubi, poligoni, poliedri più o meno regolari…questi enti geometrici esistono solo nella mente dei matematici e per descrivere la natura sono inadeguati.
In natura esistono figure matematiche dotate di dimensioni frazionate e non intere.
Ecco perché sentiamo spesso dire che la geometria è fredda e arida…Perché incapace di descrivere le forma di una nuvola, una montagna, una linea costiera, una pianta…Le nuvole non sono sfere, le coste non sono cerchi, ), le montagne non sono coni, il fulmine non si propaga in maniera lineare ma oggetti geometricamente molto complessi (Mandelbrot)
La cosa più sorprendente dei frattali è il fatto che sono largamente presenti in natura quasi si trattasse di una sorta di linguaggio naturale.
ABETE: l’ albero in natura è l’esempio a noi più familiare di frattale …ad un’attenta osservazione notiamo che ogni ramo è simile all’intero albero ed ogni rametto è simile al proprio ramo…
FELCE: anche qui notiamo che una parte della felce è simile alla felce stessa…la parte è una copia in piccolo della foglia completa. Se prendessimo parti sempre più piccole potremmo procedere all’infinito e trovare sempre copie esatte della felce “madre”.
MONTAGNA: a distanza vediamo la montagna nel suo insieme se poi, da vicino, osserviamo una piccola roccia, vediamo che questa presenta delle caratteristiche strutturalmente simili a quelle dell'intera montagna
Conclusione: una parte dell’oggetto è simile al tutto…sono oggetti autosimili
Se consideriamo che la felce è un oggetto geometrico allora il collegamento con la matematica è diretto…come tale può essere espressa attraverso una formula matematica…I frattali possono essere costruiti seguendo precise regole matematiche.
Cosa sono dunque i frattali? Stranissimi enti matematici…
In realtà è molto difficile definirli, visto che ne esiste una grande varietà ed ognuna ha proprie caratteristiche…lo stesso Mandelbrot, matematico francese, padre fondatore della teoria dei frattali (ed inventore del famoso insieme che porta il suo nome) non ne dà una definizione matematica ma ne fornisce solo una definizione approssimativa ed intuitiva. Il frattale è un concetto difficile se lo si vuole esprimere matematicamente, ma se vogliamo realizzarlo con un disegno e servirci dell’arte allora ci accorgiamo che l’idea non è complicata.
ARIETE: PITAGORA è del segno del’ariete…se si pensa all’ariete e poi a Pitagora al massimo si può immaginare che tra i due ci sia una relazione astronomica. Guardando l’ariete non sembra
proprio che abbia qualche connessione con Pitagora ed il suo teorema. Però se disegnamo un triangolo rettangolo ed i quadrati sui tre lati, ed ancora un triangolo simile al primo sui due cateti e ancora e ancora…ci accorgiamo che adesso l’ariete e Pitagora hanno qualcosa in comune, la spirale pitagorica. Dal teorema di Pitagora si è visto che la rappresentazione grafica di questo teorema e giocando con esso si può costruire una figura completamente diversa che assomiglia alle corna di un ariete; la spirale pitagorica.
Frattali in matematica, astronomia, arte, biologia, tradizioni.
In ogni caso sono frattali gli oggetti o figure geometriche (come il cerchio, triangolo)che rispondono a queste 4 caratteristiche, cioè possiedono alcune proprietà diverse:.
1) oggetti che presentano la caratteristica di autosimilarità (self-similarity)… a qualunque scala si osservi, l’oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali. L’oggetto è l’unione di parti che ingrandite riproducono tutto l’oggetto…cioè l’oggetto si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse…è l’unione di copie identiche di sé stesso a scale differenti (continuamente ridotte)…cioè non cambia aspetto anche se visto con una lente d’ingrandimento si ripete all’infinito.
Infinite interazioni, trasformazioni nelle quali si conserva il particolare motivo geometrico.
2) sono oggetti che contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica se vengono ingranditi non perdono dettagli ma anzi si arricchiscono di nuovi particolari…rivelano nuovi dettagli.
3) irregolari cioè non soddisfano semplici condizioni geometriche ed analitiche.
4) l’autosimilarità è maggiore della dimensiona topologica…cioè la loro dimensione non è intera ma sono considerati dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria. Un’altra sua caratteristica è la dimensione. Il frattale occupa una superficie compresa entro limiti…quindi la sua area è definita, ma ha un perimetro infinito…cioè la lunghezza della linea che delimita l’area è infinita.
Mandelbror si chiede “Quanto è lunga la dimensione della costa della GranBretagna?”…dimostrò che la lunghezza dei vari tratti poteva continuare all’infinito scendendo su una scala sempre più piccola e non trovò una risposta definitiva ma riuscì a definire un numero compreso tra 1 e 2 che identificava il frastagliamento della costa. Più la linea della costa era frastagliata e più questo numero frazionario si avvicinava a 2. Mandelbrot dimostrò che questo numero conteneva delle proprietà di una dimensione che chiamò “dimensione frattale”. La geometria frattale fa di questi casi che sfidano la norma i fondamenti di una nuova matematica delle forme, il punto di partenza di una teoria sistematica e ordinatrice capace di trovare il filo della regolarità dove apparentemente c’è solo disordine e caos. (come Pitagora)
Che la natura sia scritta e disegnata con leggi matematiche non è un fatto nuovo e già Galileo ne faceva il punto cardine della sua visione dell’ Universo.
È sufficiente guardarsi intorno per scoprire quante entità "autosimili" siano presenti nel nostro mondo: un cavolfiore e le sue infiorescenze, una nuvola, le coste di un'isola, alcuni organi del corpo umano
Rappresentano bene il connubio tra bellezza, arte e scienza. Partendo dallo studio delle proporzioni notiamo che nell’arte ed in natura esistono tantissime strutture, opere d’arte, piante…in cui il concetto di proporzione è presente, cioè le proporzioni sono alla base dell’armonia e bellezza del mondo
Tantissimi oggetti della natura, molti più di quelli che pensiamo (alberi, montagne, nuvole, foglie, felci, erbe, fiori…di tutti i tipi e di tutte le dimensioni) hanno forme complesse, irregolari, frastagliate, frammentate che rispecchiano curiose proprietà geometriche.
Forme che non corrispondono agli assiomi ed alla geometria euclidea che studiamo a scuola fatta di rette, cerchi, cubi, poligoni, poliedri più o meno regolari…questi enti geometrici esistono solo nella mente dei matematici e per descrivere la natura sono inadeguati.
In natura esistono figure matematiche dotate di dimensioni frazionate e non intere.
Ecco perché sentiamo spesso dire che la geometria è fredda e arida…Perché incapace di descrivere le forma di una nuvola, una montagna, una linea costiera, una pianta…Le nuvole non sono sfere, le coste non sono cerchi, ), le montagne non sono coni, il fulmine non si propaga in maniera lineare ma oggetti geometricamente molto complessi (Mandelbrot)
La cosa più sorprendente dei frattali è il fatto che sono largamente presenti in natura quasi si trattasse di una sorta di linguaggio naturale.
ABETE: l’ albero in natura è l’esempio a noi più familiare di frattale …ad un’attenta osservazione notiamo che ogni ramo è simile all’intero albero ed ogni rametto è simile al proprio ramo…
FELCE: anche qui notiamo che una parte della felce è simile alla felce stessa…la parte è una copia in piccolo della foglia completa. Se prendessimo parti sempre più piccole potremmo procedere all’infinito e trovare sempre copie esatte della felce “madre”.
MONTAGNA: a distanza vediamo la montagna nel suo insieme se poi, da vicino, osserviamo una piccola roccia, vediamo che questa presenta delle caratteristiche strutturalmente simili a quelle dell'intera montagna
Conclusione: una parte dell’oggetto è simile al tutto…sono oggetti autosimili
Se consideriamo che la felce è un oggetto geometrico allora il collegamento con la matematica è diretto…come tale può essere espressa attraverso una formula matematica…I frattali possono essere costruiti seguendo precise regole matematiche.
Cosa sono dunque i frattali? Stranissimi enti matematici…
In realtà è molto difficile definirli, visto che ne esiste una grande varietà ed ognuna ha proprie caratteristiche…lo stesso Mandelbrot, matematico francese, padre fondatore della teoria dei frattali (ed inventore del famoso insieme che porta il suo nome) non ne dà una definizione matematica ma ne fornisce solo una definizione approssimativa ed intuitiva. Il frattale è un concetto difficile se lo si vuole esprimere matematicamente, ma se vogliamo realizzarlo con un disegno e servirci dell’arte allora ci accorgiamo che l’idea non è complicata.
ARIETE: PITAGORA è del segno del’ariete…se si pensa all’ariete e poi a Pitagora al massimo si può immaginare che tra i due ci sia una relazione astronomica. Guardando l’ariete non sembra
proprio che abbia qualche connessione con Pitagora ed il suo teorema. Però se disegnamo un triangolo rettangolo ed i quadrati sui tre lati, ed ancora un triangolo simile al primo sui due cateti e ancora e ancora…ci accorgiamo che adesso l’ariete e Pitagora hanno qualcosa in comune, la spirale pitagorica. Dal teorema di Pitagora si è visto che la rappresentazione grafica di questo teorema e giocando con esso si può costruire una figura completamente diversa che assomiglia alle corna di un ariete; la spirale pitagorica.
Frattali in matematica, astronomia, arte, biologia, tradizioni.
In ogni caso sono frattali gli oggetti o figure geometriche (come il cerchio, triangolo)che rispondono a queste 4 caratteristiche, cioè possiedono alcune proprietà diverse:.
1) oggetti che presentano la caratteristica di autosimilarità (self-similarity)… a qualunque scala si osservi, l’oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali. L’oggetto è l’unione di parti che ingrandite riproducono tutto l’oggetto…cioè l’oggetto si ripete nella sua struttura allo stesso modo su scale diverse…è l’unione di copie identiche di sé stesso a scale differenti (continuamente ridotte)…cioè non cambia aspetto anche se visto con una lente d’ingrandimento si ripete all’infinito.
Infinite interazioni, trasformazioni nelle quali si conserva il particolare motivo geometrico.
2) sono oggetti che contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica se vengono ingranditi non perdono dettagli ma anzi si arricchiscono di nuovi particolari…rivelano nuovi dettagli.
3) irregolari cioè non soddisfano semplici condizioni geometriche ed analitiche.
4) l’autosimilarità è maggiore della dimensiona topologica…cioè la loro dimensione non è intera ma sono considerati dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria. Un’altra sua caratteristica è la dimensione. Il frattale occupa una superficie compresa entro limiti…quindi la sua area è definita, ma ha un perimetro infinito…cioè la lunghezza della linea che delimita l’area è infinita.
Mandelbror si chiede “Quanto è lunga la dimensione della costa della GranBretagna?”…dimostrò che la lunghezza dei vari tratti poteva continuare all’infinito scendendo su una scala sempre più piccola e non trovò una risposta definitiva ma riuscì a definire un numero compreso tra 1 e 2 che identificava il frastagliamento della costa. Più la linea della costa era frastagliata e più questo numero frazionario si avvicinava a 2. Mandelbrot dimostrò che questo numero conteneva delle proprietà di una dimensione che chiamò “dimensione frattale”. La geometria frattale fa di questi casi che sfidano la norma i fondamenti di una nuova matematica delle forme, il punto di partenza di una teoria sistematica e ordinatrice capace di trovare il filo della regolarità dove apparentemente c’è solo disordine e caos. (come Pitagora)
Rapido excursus finale di storia della musica
BACH:
FUGA: centro della sua estetica formale, sintesi di tutta la tradizione canonica precedente cioè in esse troviamo tutte le forme canoniche della storia. Le sue fughe vengono definite “la grande enciclopedia dei canoni fiamminghi”
Tra le sue raccolte si ricordano “Gli esercizi per tastiera” in cui si nota il simbolismo, al centro di questa raccolta infatti c’è una fuga dedicata alla trinità, con 3 bemolli, divisa in 3 parti ed ogni parte è divisa in soggetto, controsoggetto e risposta.
PARTITA (barocca): basata su uno schema musicale fisso, ripetuto e variato ad ogni sezione, cioè è la successione di variazioni su un tema dato
BASSO CONTINUO: basso ripetuto ininterrottamente, in modo rigoroso
1700: razionalismo, periodo in cui operano grandi matematici ed astrologi, Keplero, Copernico, Galilei
VIVALDI: ed il suo “Estro Armonico”; “Il cimento dell’armonia” in cui mostra grande attenzione per i confini armonici
Il razionalismo in musica darà luogo ad alcune caratteristiche
-cosmopolitismo del compositore e dell’autore, si tende ad un linguaggio europeo, internazionale
-semplificazione del linguaggio
-“massificazione”, la musica si stacca pian piano dal mecenate ma ha a che fare con il pubblico ed il suo apprezzamento.
DEA RAGIONE
CLASSICISMO
STILE GALANTE: eleganza in musica, raffinatezza.( a fianco di questa razionalizzazione si ha anche una corrente opposta quella del Rococò)
SONATA: forma costituita da ESPOSIZIONE – SVILUPPO - RIPRESA
MOZART, Grande esempio di sintesi, crea uno stile omogeneo, universale distili diversi.
HAYDN, BEETHOVEN
Nasce la SINFONIA moderna / scuola di Mannheim
Forma ben strutturata, forma come ideale di bellezza, simmetria, omogeneità, equilibrio delle parti.
La forma diventa un contenitore, il modo in cui si esprime la composizione
Presso i greci il termine Sinfonia indicava la consonanza: ottava, quinta, quarta, opposta alla diaphonia degli altri intervalli…e mantenne questo significato anche nel Medioevo.
Nel 1500 il vocabolo è usato per indicare composizioni per strumenti (siamo nel periodo di emancipazione della musica strumentale da quella vocale)
Nel 1600 viene chiamata sinfonia l’introduzione strumentale dell’opera, oratorio e cantata…queste si svilupparono fino a fissarsi (soprattutto con Scarlatti) nello schema tripartito: Allegro – adagio – allegro)
Nel 1700 la sinfonia, inizia ad apparire come forma autonoma, come composizione da concerto e si arriverà alla sinfonia classica moderna. (decisivo il contributo di Beethoven)
La sonata classica consta di 4 movimenti
Allegro in forma sonata
Adagio (per lo più in forma di Lied)
Minuetto
Finale (vivace o presto per lo più in forma di Rondò)
TARDO OTTOCENTO: crisi dell’armonia, le scale, le sperimentazioni sono i nuovi orizzonti espressivi…decadentismo
domenica 11 maggio 2008
la4
Il fatto che la musica sia matematica si vede anche dalla frequenza stabilita per il La sopra il do centrale (la4) = definita per convenzione a 440 hertz, valore stabilito dalla conferenza internazionale di Londra del 1939. In precedenza, si usavano spesso le frequenze di 432 e 435 hertz, ma a seconda del luogo, del periodo e del tipo di musica il la4 poteva variare tra i 415 e 445 hertz, andando a toccare quindi anche l'odierno la bemolle.
Le frequenze di tutte le altre note sono calcolate a partire dal la4.
Il la4 è di fondamentale importanza, perché è la nota dei diapason. Al di fuori dell'ambito musicale, numerose applicazioni tecniche usano il la3 come "frequenza standard", come il monoscopio RAI e il tono di libero del telefono, che all'occorrenza possono essere usati come diapason.
Le frequenze di tutte le altre note sono calcolate a partire dal la4.
Il la4 è di fondamentale importanza, perché è la nota dei diapason. Al di fuori dell'ambito musicale, numerose applicazioni tecniche usano il la3 come "frequenza standard", come il monoscopio RAI e il tono di libero del telefono, che all'occorrenza possono essere usati come diapason.
Cenni sul concetto generale di ARMONIA
L’armonia è il risultato della combinazione simultanea di più suoni diversi.
Il significato che le ha dato la cultura occidentale è in diretto rapporto con le speculazioni cosmogoniche e cosmologiche dei presocratici (in particolare della scuola pitagorica, sec 6° a. C.)
che dalla scienza armonica, pur fondata sulla divisione aritmetica dell’unica corda dello strumento detto monocordo, cioè su un fenomeno rigorosamente fisico – acustico, ricavando un modello di struttura metafisica, uno schema di interpretazione razionale dell’universo.
Fino a tutto il medioevo, quando già la pratica musicale aveva tentato con successo le vie della polifonia, il termine armonia resta confinato nel limbo speculativo in cui l’aveva collocato l’antichità classica.
Solo verso la fine del ‘400 (grazie ai teorici J.Tinctoris e F.Gaffurio) l’armonia cessa di riguardare le sfere per entrare, anche come parola, nell’ambito della pratica musicale, a designare i criteri sintattici che regolano gli incontri simultanei tra suoni.
LA NOZIONE MODERNA DI ARMONIA
Nell’accezione musicale moderna (da Rameau, ossia dal 1700 in poi) l’armonia è anzitutto una precettistica, un insieme di regole che definisce la struttura degli accordi in base al principio della tonalità e ne disciplina la successione nel tempo. Fondamento dell’armonia classico – romantica è la nozione fisica (non più metafisica) del suono, lo studio dei suoni armonici, di quei suoni, cioè, che a accompagnano l’emissione di una qualsiasi nota, diede ai teorici del ‘700 la base oggettiva e razionale di cui avevano bisogno. Nacque così la normativa trattatistica concernente l’accordo di triade, ossia per terze sovrapposte, praticato oramai da almeno 3 secoli e già riconosciuto in sede teorico – matematica fa G.Zarlino ( “Istituzioni harmoniche” 1558).
Sulla scala di do maggiore possiamo costruire ( su ogni grado di questa scala) un accordo di triade
La triade si dice maggiore o minore a seconda che la nota di mezzo sia distante una terza maggiore o minore dalla fondamentale, e si dice diminuita quando la nota centrale e la superiore siano rispettivamente a distanza di terza minore e di quinta diminuita dalla fondamentale (intervallo). Un’altra diversa successione si ottiene basandosi sulla scala minore.
Tra questi accordi l’armonia tonale instaura una gerarchia che ne regola i rapporti. L’armonia ha presto teorizzato l’uso delle cosiddette dissonanze, praticate fin dagli inizi della polifonia. Facilmente inquadrabile in una fenomenologia dell’ascolto, la dissonanza sfuma rapidamente i suoi contorni non appena si tenti di definirla fisicamente. Semplificando, si può dire che per la lingua musicale d’occidente si considera dissonante, qualsiasi aggregato di suoni( 2 o più) che non sia riconducibile ad una triade maggiore o minore (o parte di essa); in altea parole, unici accordi consonanti sono considerati le triadi maggiori e minori ed i loro rivolti (formati con le stesse note ma con diverso ordine).
L’uso di tutti gli altri aggregati sonori (considerati accordi o intervalli dissonanti) è sottoposto ad un complesso di regole informate sostanzialmente a due possibili interpretazioni della dissonanza: dissonanza di passaggio con debole accento ritmico e dissonanza su tempo forte cioè accentato, il cui uso, limitato agli inizi dalle leggi della preparazione e della risoluzione (la nota che fa dissonanza si trova anticipata in un accordo precedente e muove verso altra nota consonante o meno dissonante), si è andato poi progressivamente liberalizzando. Ma se la dissonanza come tale è sufficiente a stabilire una tensione armonica, solo la sua collocazione sintattica ne definisce la funzione, aprendo la porta ad un possibile significato. Nesso sintattico primario dell’armonia, anche in senso storico è la cadenza, fondata sul potere di attrazione del semitono.
La formula cadenzale di base del linguaggio tonale è la successione degli accordi perfetti sul 5° e sul 1°grado della scala, cioè di dominante e tonica, la cosiddetta cadenza perfetta, dove l’attrazione semitonale si dà tra il 7° grado (detto sensibile) e il 1° (tonica). Molteplici sono tuttavia le cadenze in uso nell’armonia tonale e a esse è affidato in massima parte il governo delle tensioni accordali. Intorno ai nuclei energetici delle cadenze si distribuiscono secondo vari e spesso intercambiabili rapporti gerarchici, gli altri accordi (consonanti e dissonanti) a formare catene armoniche sempre più complesse, soprattutto da quando il diffondersi del sistema temperato ha messo a disposizione dei compositori 12 suoni equivalenti nell’ambito di un’ottava, ognuno dei quali è centro potenziale di un autonoma tonalità.
CENNI STORICI
L’evoluzione storica dell’armonia tonale, non è stata rettilinea: dopo una fase iniziale di sperimentazione, (Monteverdi) coincidente con la disgregazione del sistema modale (Gesualdo Frescobaldi), la sintassi armonica tende rapidamente ad una sistemazione razionale fondata sul basso continuo, su una logica accordale, cioè, implicita nel cammino delle note di sostegno degli accordi stessi, quelli che ne costituiscono appunto il basso.
Dopo Bach, il riflusso dell’esuberanza linguistica barocca nell’asciuttezza del 1700 matura o segna un’apparente battuta di arresto nell’evoluzione dell’armonia ma poi l’indagine sull’armonia dissonante e sui passaggi di tonalità (modulazioni) in relazione ad un sistema di funzioni estese ai 12 gradi della scala temperata (cromatismo) giunge con Wagner a esplorare virtualmente tutte le potenzialità sintattiche insite nell’armonia tonale. Segni evidenti di crisi compaiono negli anni a cavallo tra l’800 ed il ‘900 con la pentafonia (basata su una scala di 5 suoni) e la esafonia (basata su una scala di 6 suoni) di Debussy, con le sospensioni tonali di R. Strauss a del primo Schonberg, con gli addensamenti armonici dell’ultimo Malher.
IL SUPERAMENTO NELL’ARMONIA TONALE
Benché sia stato prevalentemente associato a Schonberg e alla sua scuola, il superamento dell’armonia tonale, (più propriamente: dell’armonia “funzionale”) conobbe di fatto percorsi e modalità differenziate, riconducibili a due tendenze principali.
Da un lato, la tendenza alla saturazione dello spazio tonale( il cromatismo, già intuibile in Wagner) che condusse alla moltiplicazione delle tensioni armoniche verso toni lontani sino alla perdita della possibilità di controllo (cioè alla perdita di un centro di gravità tonale), dall’altro la tendenza opposta ad abolire le tensione stesse con l’impiego di scale diatoniche e modali e con lo spostamento della finzioni strutturali già proprie dell’ armonia ad altri elementi del linguaggio musicale, come il timbro ed il ritmo (atonalità). Alla prima si possono avvicinare Schonberg, Berg, Webern, alla seconda si collegano variamente Debussy, Satie Varese, Stravinskij, Bartok.
Gli sviluppi successivi, dalle operazioni linguistiche su materiali storicamente prefigurati (neoclassicismo) alle speculazioni sui 12 suoni non più gerarchicamente ordinati (dodecafonia), ai vari tentativi di ampliare il concetto classico di tonalità fino a farvi rientrare qualsiasi aggregato di note (Hindemith), sono testimonianze della ricerca di nuovi ordini armonici. Il 2° dopoguerra si è dimostrato più conseguente nel suo radicalismo, rigettando qualsiasi riferimento ad un sistema armonico comunque fondato.
Il significato che le ha dato la cultura occidentale è in diretto rapporto con le speculazioni cosmogoniche e cosmologiche dei presocratici (in particolare della scuola pitagorica, sec 6° a. C.)
che dalla scienza armonica, pur fondata sulla divisione aritmetica dell’unica corda dello strumento detto monocordo, cioè su un fenomeno rigorosamente fisico – acustico, ricavando un modello di struttura metafisica, uno schema di interpretazione razionale dell’universo.
Fino a tutto il medioevo, quando già la pratica musicale aveva tentato con successo le vie della polifonia, il termine armonia resta confinato nel limbo speculativo in cui l’aveva collocato l’antichità classica.
Solo verso la fine del ‘400 (grazie ai teorici J.Tinctoris e F.Gaffurio) l’armonia cessa di riguardare le sfere per entrare, anche come parola, nell’ambito della pratica musicale, a designare i criteri sintattici che regolano gli incontri simultanei tra suoni.
LA NOZIONE MODERNA DI ARMONIA
Nell’accezione musicale moderna (da Rameau, ossia dal 1700 in poi) l’armonia è anzitutto una precettistica, un insieme di regole che definisce la struttura degli accordi in base al principio della tonalità e ne disciplina la successione nel tempo. Fondamento dell’armonia classico – romantica è la nozione fisica (non più metafisica) del suono, lo studio dei suoni armonici, di quei suoni, cioè, che a accompagnano l’emissione di una qualsiasi nota, diede ai teorici del ‘700 la base oggettiva e razionale di cui avevano bisogno. Nacque così la normativa trattatistica concernente l’accordo di triade, ossia per terze sovrapposte, praticato oramai da almeno 3 secoli e già riconosciuto in sede teorico – matematica fa G.Zarlino ( “Istituzioni harmoniche” 1558).
Sulla scala di do maggiore possiamo costruire ( su ogni grado di questa scala) un accordo di triade
La triade si dice maggiore o minore a seconda che la nota di mezzo sia distante una terza maggiore o minore dalla fondamentale, e si dice diminuita quando la nota centrale e la superiore siano rispettivamente a distanza di terza minore e di quinta diminuita dalla fondamentale (intervallo). Un’altra diversa successione si ottiene basandosi sulla scala minore.
Tra questi accordi l’armonia tonale instaura una gerarchia che ne regola i rapporti. L’armonia ha presto teorizzato l’uso delle cosiddette dissonanze, praticate fin dagli inizi della polifonia. Facilmente inquadrabile in una fenomenologia dell’ascolto, la dissonanza sfuma rapidamente i suoi contorni non appena si tenti di definirla fisicamente. Semplificando, si può dire che per la lingua musicale d’occidente si considera dissonante, qualsiasi aggregato di suoni( 2 o più) che non sia riconducibile ad una triade maggiore o minore (o parte di essa); in altea parole, unici accordi consonanti sono considerati le triadi maggiori e minori ed i loro rivolti (formati con le stesse note ma con diverso ordine).
L’uso di tutti gli altri aggregati sonori (considerati accordi o intervalli dissonanti) è sottoposto ad un complesso di regole informate sostanzialmente a due possibili interpretazioni della dissonanza: dissonanza di passaggio con debole accento ritmico e dissonanza su tempo forte cioè accentato, il cui uso, limitato agli inizi dalle leggi della preparazione e della risoluzione (la nota che fa dissonanza si trova anticipata in un accordo precedente e muove verso altra nota consonante o meno dissonante), si è andato poi progressivamente liberalizzando. Ma se la dissonanza come tale è sufficiente a stabilire una tensione armonica, solo la sua collocazione sintattica ne definisce la funzione, aprendo la porta ad un possibile significato. Nesso sintattico primario dell’armonia, anche in senso storico è la cadenza, fondata sul potere di attrazione del semitono.
La formula cadenzale di base del linguaggio tonale è la successione degli accordi perfetti sul 5° e sul 1°grado della scala, cioè di dominante e tonica, la cosiddetta cadenza perfetta, dove l’attrazione semitonale si dà tra il 7° grado (detto sensibile) e il 1° (tonica). Molteplici sono tuttavia le cadenze in uso nell’armonia tonale e a esse è affidato in massima parte il governo delle tensioni accordali. Intorno ai nuclei energetici delle cadenze si distribuiscono secondo vari e spesso intercambiabili rapporti gerarchici, gli altri accordi (consonanti e dissonanti) a formare catene armoniche sempre più complesse, soprattutto da quando il diffondersi del sistema temperato ha messo a disposizione dei compositori 12 suoni equivalenti nell’ambito di un’ottava, ognuno dei quali è centro potenziale di un autonoma tonalità.
CENNI STORICI
L’evoluzione storica dell’armonia tonale, non è stata rettilinea: dopo una fase iniziale di sperimentazione, (Monteverdi) coincidente con la disgregazione del sistema modale (Gesualdo Frescobaldi), la sintassi armonica tende rapidamente ad una sistemazione razionale fondata sul basso continuo, su una logica accordale, cioè, implicita nel cammino delle note di sostegno degli accordi stessi, quelli che ne costituiscono appunto il basso.
Dopo Bach, il riflusso dell’esuberanza linguistica barocca nell’asciuttezza del 1700 matura o segna un’apparente battuta di arresto nell’evoluzione dell’armonia ma poi l’indagine sull’armonia dissonante e sui passaggi di tonalità (modulazioni) in relazione ad un sistema di funzioni estese ai 12 gradi della scala temperata (cromatismo) giunge con Wagner a esplorare virtualmente tutte le potenzialità sintattiche insite nell’armonia tonale. Segni evidenti di crisi compaiono negli anni a cavallo tra l’800 ed il ‘900 con la pentafonia (basata su una scala di 5 suoni) e la esafonia (basata su una scala di 6 suoni) di Debussy, con le sospensioni tonali di R. Strauss a del primo Schonberg, con gli addensamenti armonici dell’ultimo Malher.
IL SUPERAMENTO NELL’ARMONIA TONALE
Benché sia stato prevalentemente associato a Schonberg e alla sua scuola, il superamento dell’armonia tonale, (più propriamente: dell’armonia “funzionale”) conobbe di fatto percorsi e modalità differenziate, riconducibili a due tendenze principali.
Da un lato, la tendenza alla saturazione dello spazio tonale( il cromatismo, già intuibile in Wagner) che condusse alla moltiplicazione delle tensioni armoniche verso toni lontani sino alla perdita della possibilità di controllo (cioè alla perdita di un centro di gravità tonale), dall’altro la tendenza opposta ad abolire le tensione stesse con l’impiego di scale diatoniche e modali e con lo spostamento della finzioni strutturali già proprie dell’ armonia ad altri elementi del linguaggio musicale, come il timbro ed il ritmo (atonalità). Alla prima si possono avvicinare Schonberg, Berg, Webern, alla seconda si collegano variamente Debussy, Satie Varese, Stravinskij, Bartok.
Gli sviluppi successivi, dalle operazioni linguistiche su materiali storicamente prefigurati (neoclassicismo) alle speculazioni sui 12 suoni non più gerarchicamente ordinati (dodecafonia), ai vari tentativi di ampliare il concetto classico di tonalità fino a farvi rientrare qualsiasi aggregato di note (Hindemith), sono testimonianze della ricerca di nuovi ordini armonici. Il 2° dopoguerra si è dimostrato più conseguente nel suo radicalismo, rigettando qualsiasi riferimento ad un sistema armonico comunque fondato.
...materiale in Power Point...
Lo sviluppo della polifonia porta con sé una revisione della scrittura musicale, dei modi di accordare, delle scale e degli intervalli ma ho inserito i teorici che ne saranno implicati, i tempi e le novità apportate in un lavoro a parte su Power Point…
sabato 10 maggio 2008
INTERVISTA
L’ intervistato è il Dirigente della scuola dove lavoro Don Igino
INTERVISTA A DON IGINO
Ho deciso di riportare tale e quale il suo contributo senza mie modifiche o rielaborazioni perché anche se la chiacchierata non si è svolta in un modo propriamente canonico (cioè con domande e risposte) e senza parlare precisamente di matematica in realtà Don Igino è riuscito a rispondere a tutto ed anzi, ad andare oltre…è bastata la prima domanda per stimolare un monologo di due ore, ma il tempo è tiranno per certi argomenti ci vorrebbe ben altro tempo!
Doriana:”Qual è il matematico che si ricorda?”
Don Igino attorciglia il naso rispondendo che non se ne ricorda nessuno in particolare…
“E pensare che al Ginnasio, la matematica era la mia materia preferita. Purtroppo il rapporto con gli insegnanti è stato negativo e l’ho abbandonata per concentrarmi su altro genere di studi tanto che al liceo ero soprannominato “il Letterato”. Forse ripensandoci PASCAL matematico, filosofo, colui che ha scritto i “Pensieri”…”Nella chiacchierata che ho avuto Lunedi in parrocchia, sul battesimo, ho parlato dell’enigma dell’uomo deducendo questo enigma dalle tragedie di Sofocle.
Questo entusiasmo, intelligenza dell’uomo che si accompagna alla sua debolezza.
Guicciardini parla del buio di tutte le cose.
Leopardi si rivolge alla Luna chiedendole qual è il senso della vita “Tu devi saperlo perché sei una dea!”
L’enigma dell’uomo che ha possibilità enormi e lo si vede in tutta l’arte greca che ha scolpito le persone in tutta la loro bellezza, armonia…i greci che hanno inventato la democrazia…in tutto questo però rileviamo il limite umano, il fato incombe su tutto, uomini e dei.
Sofocle canta la grandezza dell’uomo e poi dice che nascere è una grande sventura.
Leopardi “Chi nasce è funesto il dì natale”
Dio ha una risposta, ma non al modo dei professori che parlano all’intelligenza, ai dotti e che discutono. Da una risposta esistenziale adatta ai piccoli perché quelli che aderiscono alla realtà ed amano i fatti…la risposta è nel battesimo che significa immersione in Cristo, diventare una cosa con Lui, che è figlio ed anche noi diventiamo figli del Padre” Il battesimo è un tuffo nel gorgo della vita trinitaria. Dante nel Paradiso parla di “trasumanar” tradotto in cercare di andare oltre, superare i limiti umani.
Io amavo molto la geometria, TALETE che parla dei 4 elementi fondamentali
PITAGORA bellissima la sua matematica perché diventa filosofia.
Dicevo…ho amato la geometria e non l’algebra perché essendomi mancato un bravo Professore nella geometria riuscivo ad arrivare da solo alle soluzioni ma non con l’algebra.
Doriana” La matematica è nella sua vita di ogni giorno?”
Si totalmente nel senso che amo la musica. Ieri ho ascoltato il concerto di Mozart K 622 anche se mi strazia. La musica è tutto un rapporto matematico…e poi amo la letteratura e la poesia. La poesia è tutta matematica…fatta di sillabe, endecasillabi ecc…è tutta rigore matematico soprattutto quella greca e latina e neolatina…tutto è misurato con precisione. Sentimentalismo? No questo è solo un bamboleggiarsi infantile. Aveva regione De Andrè alla domanda “Preferisce farsi chiamare poeta o cantautore?” risposta “Fino a 16/17 anni siamo tutti poeti, poi siamo poeti o cretini” Visione improntata alla matematica.
Don Igino “Io sono fondamentalmente un anarchico ribelle…ma anch’io porto l’orologio al polso e devo incastrare tante cose…Ho abbandonato la matematica e dentro di me c’è un rimpianto perché sono convinto che quando la matematica non si ferma all’esercizietto sconfina nella filosofia. La matematica è presente in me…Quando ero a Roma ero amico di un fisico discutevamo molto io teologo, fisico lui…eppure spesso arrivavamo a conclusioni simili o identiche su tanti problemi. Noi siamo immersi nella realtà che è una macchina meravigliosa, misteriosa, immensa, cosmos, da cosmo: metto in ordine e nus: mente suprema. Noi cerchiamo e desideriamo capirla da capere impossessarsi. Siamo forniti di intelligenza e vorremmo leggere dentro vorremmo andare a fondo…non ci accontentiamo di vedere, vorremmo capire, andare oltre il fenomeno (ciò che appare) arrivare alla substantia, nocciolo misteriosi della realtà. Per giungere a conoscere la realtà sono nate tutte le scienze, note di un'unica grande sinfonia, un tutto unitario…siamo indirizzati alla comprensione, soddisfazione della nostra intelligenza.
In Turchia ho visto una scultura stilizzata vicino ad una moschea scavata in una grossa pietra formata come da tante radici, “torrenti” che partivano dal basso e poi si restringevano formando un albero finale…una statua a forma di piramide” che ha una profonda simbologia religiosa cioè la vita, anzi le vite perché ce ne sono tante, travagliate ma tutte marciano verso l’unità, Dio. Ci sono tante scienze, ma tutte hanno un unico scopo, abbracciare la realtà, capirla…ma non ci riusciremo mai. Sia nel macrocosmo, l’universo; sia nel microcosmo, gli organismi infinitesimali della materia…sono infiniti… ci perdiamo.
La conoscenza deve essere dialogica, aperta…l’uomo è limitato, ha sotto gli occhi un panorama piccolo ha bisogno dell’apporto degli altri.
Non si può spiegare veramente la letteratura senza filosofia, teologia, matematica. Il problema di Dio c’è in tutti gli autori non solo in Dante “Devi conoscere la teologia” quando parla ai letterati dice” Se non conoscila teologia…smetti di cercare”la conoscenza è dialogica. La persona non è come ce la fa credere la cultura di oggi, un individuo, una persona è una maschera…come quella usata per far sentire la voce nella tragedia. La persona è un io che ha bisogno di un tu per diventare un noi. La vera natura della persona è legata alla visione cristiana perché la persona è fatta a immagine di Dio, che non è solo una Trinità. La persona è creata a immagine di Dio ma questo supera la spiegazione che può dare il linguaggio umano (33esimo canto di Dante, Paradiso)
Natura dialogica della conoscenza è l’io che si esprime e l’io e persona ed ha bisogno degli altri.
Pavese il romanziere che amo più di tutti nel “Mestiere di vivere” dice che noi riceviamo la nostra vita dagli altri e non capisce perché. Il riflesso della Trinità è nella famiglia umana. Il male del 1900 e 21° secolo è quello della solitudine, incomunicabilità…corriamo senza sapere dove, corriamo e basta. Noi siamo limitati umili. Il grande scienziato è sempre umile perché sa e lo dice anche Socrate che “chi è sapiente è colui che sa di non sapere” Più studi e più ti accorgi di essere immerso nell’oceano…Desideriamo sapere, vedere ma non possiamo essere soddisfatti. La filosofia è l’uomo che cerca la verità…sophia, sapienza... L’uomo è come un bambino che continua a chiedere perché! Pensa al cantico dei cantici…noi siamo come addormentati e non vediamo più le cose che ci circondano, non ci rendiamo conto che c’è il sole…ricerca continua. Però ci sono pensatori poderosi che ci danno gioia…ci sembra leggendoli di aver finalmente trovato la verità ma in realtà non arriviamo mai alla vetta. Quella grande costruzione, cattedrale del sapere è una statua dai piedi di argilla. Affascinante ma drammatica è la scoperta…Mito di Sisifo: costretto a portare il masso sulla montagna e quando sta per arrivare il masso rotola giù e l’uomo deve riprendere tutto da capo.
Tutte le scienze sono drammatiche l’unico faro è la teologia..se sei umile ti manda fasci di luce sulla realtà e gioia, calore, scalda il cuore…come il lavoro del fabbro al battere dei martelli i fasci di luce che emana il battito…Io sono laureato in letteratura e teologia…
Platone diceva “Non conosceremo mai la verità a meno che non venga qualcuno a rivelarla”…riflessione sulla rivelazione di Dio ma non cattedratica, una riflessione su quello che stiamo vivendo.
Pensa ad Alessandro Magno che conquista tutto e poi comunque è insoddisfatto, deluso, attonito perché rimane ancora parte della realtà che non potrà mai conoscere non è arrivato e se ne rendo conto.
La scienza si basa su una mentalità sbagliata quella che dice che la scienza domina ci fa capire la realtà…ma la scienza quando è positivista, deraglia.
Bacone, Leonardo da Vinci, Galileo il padre della scienza moderna
Scienza come ramo della filosofia
Leonardo dice che non c’è scienza senza esperienza ma misurata matematicamente
Galileo dice che tutto ciò che cade sotto l’esperienza, ciò che possiamo vedere, toccare, misurare matematicamente…ma quello che lui chiama scienza è il regno del fenomeno da faino apparire. La scienza si limita a quella parte della realtà che appare, e ciò che non vediamo non esiste.
Esiste il numeno, per lui, il sotto…e quella parte della realtà è indagine della filosofia, ciò che sta sotto, oggetto di un’altra scienza la filosofia o la teologia. Tanto è vero che Eulero dice “Ma che scienza è questa? Cosa so io dell’erba quando mi limito a descrivere il filo verde che appare e trascura quello sotto, che non vedo, ma che c’è e che lo lega a tutti gli altri fili d’erba ed alle radici…
Il Positivismo dice: è vero tutto ciò che posso vedere, toccare, sperimentare e portare a mio vantaggio. Esiste solo il fenomeno il resto no, questo è un deragliamento della ragione arroganza, ubriacatura…le scienze ebbero un incremento nel loro sviluppo…i bambini, nuovi nati venivano chiamati “Progresso” in onore della scienza…Assurdo…a questo si ribella anche Leopardi nella Ginestra “Il nostro secolo è superbo e sciocco…il Vesuvio per esempio ti può travolgere con la sua potenza e questo dimostra che l’uomo è piccolo ed è una creatura fragile”.
Pascoli dice”Scienza tu hai fallito”
A fine 1800 però ritorna la nostalgia di quello che era stato cancellato…col naturalismo francese e verismo italiano che dicono che c’è bisogno di anima, spirito, irrazionalismo.
Tutta la cultura moderna è dominata da 2 correnti:razionalismo e irrazionalismo. Il razionalismo dice che la ragione è misura di tutte le cose e ciò che non misura non esiste…stessa parole dell’illuminismo e la sua dea ragione messa sull’altare di Notre Dame.
L’irrazionalismo dice invece che la ragione indaga ma c’è sempre un margine di mistero che sfugge.
Oggi c’è un’ipoteca di positivismo che continua. Si dice “esiste questo” altro non esiste e la scienza dà le sua interpretazioni materialistiche. In tutti gli autori viene fuori un prepotente bisogno di Dio.
Pirandello: nei suoi scritti si sente questo bisogno di verità, in lui c’è esigenza di Dio “La terra è fatta per le bestie che mangiano, hanno bisogni fisiologici, ma in me c’è come un calabrone che non mi lascia in pace, per noi c’è qualcos’altro, superfluo, cioè qualcosa che scorre oltre la natura umana, la realtà materiale, la nostalgia di qualcosa di ultraterreno, il mistero. Nei Giganti della Montagna dice “Basta ragionare, il ragionamento non porta a niente, per cercare la verità bisogna credere, essere come i bambini, i miracoli appaiono intorno a noi continuamente dobbiamo solo aprire gli occhi per vederli. Aristotele parlava di un principio fondamentale, quello della causalità. Esiste il mondo, io ho l’intelligenza per capire chi l’ha fatto. Che è X ma x è stato fatto da y e è stato fatto da z…insomma si può andare indietro all’infinito senza dire niente ma ad un certo punto se ci fermiamo, troveremo il motore immobile. La ragione ti porta a scoprirlo. Per gli illuministi c’è il mondo e chi l’ha fatto? Un grande architetto questo però ora non si cura di noi, c’è ma non si cura più…questo è deismo che poi sfocia nell’ateismo in Nietsche; “ Dio è morto”…io non ho più padroni sono libero e la realtà è un mare nostrum.
Poi nel 1900 arriva Sartre che dice che Dio è morto ma noi siamo soli, disperatamente soli. Il problema del 1900 diventa quello di costruire un’etica, e se non c’è Dio diventa impossibile costruire un’etica. Cosa diventa giusto Quello che dico io può essere il contrario di quello che dice un altro, ma chi avrebbe ragione? Il più forte!
Horcheimer: se non c’è Dio cadiamo nella giungla “ C’è bisogno di un’etica!”
Camus arriva alla morale della pietà, compassione…soffrire con chi soffre e aiutarlo nella “Peste”
L’irrazionalismo dice che la ragione non basta e poi arriva il simbolismo in cui le cose diventano simbolo di qualcosa di più profondo. La materia è una foresta di simboli: Baudelaire.
Poi rivoluzione del 1900, il decadentismo.
Fino al 1900 la filosofia classica diceva che esiste il mondo e l’io che guarda il mondo e cerca di capirlo. L’intelligenza diventa ponte tra l’io ed il mondo.
Decadentismo: non c’è più l’io di fronte al mondo ma anche lui fa parte del mondo. Il mio ponte fra me e la realtà non è più solo l’intelligenza ma l’inconscio che è la parte più naturale di me. L’istinto si rifugia nel sogno perché lì non c’è più controllo, si manifesta e basta ecco perché nell’arte e letteratura moderna il sogno è così importante.
Enigma, limite dell’uomo che è limitato…allora grande sofferenza dei romantici. Certo la nostra intelligenza ci porta molto avanti in quell’oceano, ma ad un certo punto non riesce più a procedere, si perde nella notte, si scontra col mistero…occorre diradarla allora ecco che parla la 9°di Beethoven o il 33esimo canto del Paradiso di Dante.
Vedi…la cultura è come le ciliegie… ne mangi una e poi non smetteresti più di mangiarle.
Michelangelo, è un esempio, modella la materia in modo perfetto ma arriva alle ultime sculture, sbozza le statue e si ferma, smette. Ha in testa un’idea di perfezione così alta che anche se è così perfetto sente che non è abbastanza. La sua è una sete insaziabile, quella d’infinito che ha dentro.
La nostra condizione umana è analizzata da Malraux…affascinante ma drammatica. Noi siamo creature ma essendo creati abbiamo in noi l’impronta del Creatore, la nostalgia, la tensione verso l’infinito…drammaticità del nostro essere così capiamo Schubert, i Notturni di Chopin, Mozart la k622 concerto per clarinetto ed orchestra. Ci sentiamo dentro una nostalgia infinita, struggente, malinconica, nostalgia sconfinata dell’infinito, del Paradiso terrestre.
Arte. L’uomo ha bisogno di esprimersi anche nel lavoro, di parlare..il grande artista e matematico di conseguenza, sa dirci qualcosa di più di quello che siamo, sa esprimere in misura più marcata quel grande mistero che è in noi. Domanda fondamentale che rimbalza. Hanno una maggiore sensibilità, maggiore capacità tecnica. Perché dico che mi piace un’opera di Beethoven? Perché lui è riuscito a dire quello che sono io.
Molti professori purtroppo sono bidelli che hanno sbagliato posto di lavoro o archeologi.
L’arte invece è fuoco, ti deve incendiare, ti deve far sentire vivo…noi tendiamo a diventare uno stagno, siamo addormentati, l’arte ci restituisce vivi, porta gioia…
In Pitagora la matematica diventa religione. La vita è tutta un gioco con il mistero, bagliori improvvisi che alimentano il desiderio che il mistero si riveli, gocce di rugiada. La certezza arriverà nel momento in cui si svelerà e allora crollerà il muro d’ombra che ci impedisce di vedere al di là, il Signore. Ungaretti parla di muro d’ombra.
Montale: il muro ricorre in tutta la sua poesia.
La nostra condizione umana è quella di chi desidera vedere ma non riesce a scavalcare. Nella ricerca umana, l’arte cerca di dare una risposta a questo desiderio di vedere al di là…farlo credere e sfociare nell’infinito
Ignazio d’Antiochia catturato per essere dato in pasto alle fiere a Roma trova protettori fra persone altolocate che si sono convertite al cristianesimo ma lui scrive una lettera ai romani chiedendo di essere lasciato morire perché per lui morire sarà come nascere, approdo finalmente a Dio. Giunto là sarò finalmente uomo. Abbiamo dentro una nostalgia…guardiamo, cerchiamo siamo inquieti
Oggi c’è molto pressappochismo… nebbia.
La matematica è utile nella vita quotidiana, di ogni giorno perché ci abitua al rigore, all’essere esigenti, precisi, andare a fondo nelle cose. Ci dà una formazione mentale, ci forma la testa scientifica ma non in senso positivista cioè facendoci credere che esiste solo quello che vediamo ma nel senso meno rigoroso. Noi abbiamo la ragione. Niente ci basta perché vogliamo la luce che in fondo è un abisso; Lewis “lettere di berlicche” la luce è un abisso dobbiamo lasciarci andare…ebbrezza della libertà, luce, amore…e tutto viene a coincidere dobbiamo solo essere persone disarmate…
……
Per concludere…
Platone nel Fedone dice che “Bisogna prendere quello dei ragionamenti umani che sia il migliore ed il più inconfutabile, e lasciandosi portare da questo come su una zattera, navigare a proprio rischio attraverso il mare della vita, a meno che non si possa essere trasportati con maggiore sicurezza e con minor ischio su un mezzo più saldo, in altri termini su una rivelazione divina”
Michelangelo “Giunto è già il corso della mia vita con tempestoso mar, per fragil barca, al comun porto, ov’a render si varca conto a ragion d’ogni apra trista e pia. Né pianger, né scolpir fie più che quieti l’anima, volta a quell’amor divino c’aperse, a prender noi, n’croce le braccia” (sonetto della vecchiaia)
Schubert e Chopin: la loro vita è un intendere qualcosa di ideale che non riuscivano a raggiungere. Lo dicono attraverso il canto, perché il canto è l’espressione più esplicita di un bisogno, è ancor più di un urlo, è l’uomo puro. In Chopin questo canto esprime il bisogno di qualcosa che hai stampato dentro eppure ti sfugge, non ha volto preciso è l’Assoluto. Nella loro musica si avverte una malinconia intensa, una mancanza, un desiderio così acuto si qualcosa di impossibile, tanto che puoi intuire l’esistenza di un infinito concreto, amico. Il mondo è carico di incantevoli promesse ma ognuno lo attraversa in solitudine.
Molte volte al giorno mi faccio il segno della croce, dunque pronunci oil Dogma della Trinità
…la matematica mi ripete che la vita non è individualismo, ma comunione, donazione, amore. E la Trinità mi richiama alla mente che il numero 3 è il numero che costituisce al base architettonica del poema che amo sopra tutti gli altri “La Divina Commedia”.
Senza Euclide noi saremmo diversi, altro sarebbe il nostro modo di guardare e analizzare la realtà. Nella sua opera “Elementi” non si rivolge mai alla pratica, egli parla soltanto di presupposti teorici, offre i presupposti ad un metodo…ed è stato seguito da studiosi, artisti, scienziati, come ancora oggi nei libri di scuola. Possiamo dire che siamo Euclidei nell’anima.
INTERVISTA A DON IGINO
Ho deciso di riportare tale e quale il suo contributo senza mie modifiche o rielaborazioni perché anche se la chiacchierata non si è svolta in un modo propriamente canonico (cioè con domande e risposte) e senza parlare precisamente di matematica in realtà Don Igino è riuscito a rispondere a tutto ed anzi, ad andare oltre…è bastata la prima domanda per stimolare un monologo di due ore, ma il tempo è tiranno per certi argomenti ci vorrebbe ben altro tempo!
Doriana:”Qual è il matematico che si ricorda?”
Don Igino attorciglia il naso rispondendo che non se ne ricorda nessuno in particolare…
“E pensare che al Ginnasio, la matematica era la mia materia preferita. Purtroppo il rapporto con gli insegnanti è stato negativo e l’ho abbandonata per concentrarmi su altro genere di studi tanto che al liceo ero soprannominato “il Letterato”. Forse ripensandoci PASCAL matematico, filosofo, colui che ha scritto i “Pensieri”…”Nella chiacchierata che ho avuto Lunedi in parrocchia, sul battesimo, ho parlato dell’enigma dell’uomo deducendo questo enigma dalle tragedie di Sofocle.
Questo entusiasmo, intelligenza dell’uomo che si accompagna alla sua debolezza.
Guicciardini parla del buio di tutte le cose.
Leopardi si rivolge alla Luna chiedendole qual è il senso della vita “Tu devi saperlo perché sei una dea!”
L’enigma dell’uomo che ha possibilità enormi e lo si vede in tutta l’arte greca che ha scolpito le persone in tutta la loro bellezza, armonia…i greci che hanno inventato la democrazia…in tutto questo però rileviamo il limite umano, il fato incombe su tutto, uomini e dei.
Sofocle canta la grandezza dell’uomo e poi dice che nascere è una grande sventura.
Leopardi “Chi nasce è funesto il dì natale”
Dio ha una risposta, ma non al modo dei professori che parlano all’intelligenza, ai dotti e che discutono. Da una risposta esistenziale adatta ai piccoli perché quelli che aderiscono alla realtà ed amano i fatti…la risposta è nel battesimo che significa immersione in Cristo, diventare una cosa con Lui, che è figlio ed anche noi diventiamo figli del Padre” Il battesimo è un tuffo nel gorgo della vita trinitaria. Dante nel Paradiso parla di “trasumanar” tradotto in cercare di andare oltre, superare i limiti umani.
Io amavo molto la geometria, TALETE che parla dei 4 elementi fondamentali
PITAGORA bellissima la sua matematica perché diventa filosofia.
Dicevo…ho amato la geometria e non l’algebra perché essendomi mancato un bravo Professore nella geometria riuscivo ad arrivare da solo alle soluzioni ma non con l’algebra.
Doriana” La matematica è nella sua vita di ogni giorno?”
Si totalmente nel senso che amo la musica. Ieri ho ascoltato il concerto di Mozart K 622 anche se mi strazia. La musica è tutto un rapporto matematico…e poi amo la letteratura e la poesia. La poesia è tutta matematica…fatta di sillabe, endecasillabi ecc…è tutta rigore matematico soprattutto quella greca e latina e neolatina…tutto è misurato con precisione. Sentimentalismo? No questo è solo un bamboleggiarsi infantile. Aveva regione De Andrè alla domanda “Preferisce farsi chiamare poeta o cantautore?” risposta “Fino a 16/17 anni siamo tutti poeti, poi siamo poeti o cretini” Visione improntata alla matematica.
Don Igino “Io sono fondamentalmente un anarchico ribelle…ma anch’io porto l’orologio al polso e devo incastrare tante cose…Ho abbandonato la matematica e dentro di me c’è un rimpianto perché sono convinto che quando la matematica non si ferma all’esercizietto sconfina nella filosofia. La matematica è presente in me…Quando ero a Roma ero amico di un fisico discutevamo molto io teologo, fisico lui…eppure spesso arrivavamo a conclusioni simili o identiche su tanti problemi. Noi siamo immersi nella realtà che è una macchina meravigliosa, misteriosa, immensa, cosmos, da cosmo: metto in ordine e nus: mente suprema. Noi cerchiamo e desideriamo capirla da capere impossessarsi. Siamo forniti di intelligenza e vorremmo leggere dentro vorremmo andare a fondo…non ci accontentiamo di vedere, vorremmo capire, andare oltre il fenomeno (ciò che appare) arrivare alla substantia, nocciolo misteriosi della realtà. Per giungere a conoscere la realtà sono nate tutte le scienze, note di un'unica grande sinfonia, un tutto unitario…siamo indirizzati alla comprensione, soddisfazione della nostra intelligenza.
In Turchia ho visto una scultura stilizzata vicino ad una moschea scavata in una grossa pietra formata come da tante radici, “torrenti” che partivano dal basso e poi si restringevano formando un albero finale…una statua a forma di piramide” che ha una profonda simbologia religiosa cioè la vita, anzi le vite perché ce ne sono tante, travagliate ma tutte marciano verso l’unità, Dio. Ci sono tante scienze, ma tutte hanno un unico scopo, abbracciare la realtà, capirla…ma non ci riusciremo mai. Sia nel macrocosmo, l’universo; sia nel microcosmo, gli organismi infinitesimali della materia…sono infiniti… ci perdiamo.
La conoscenza deve essere dialogica, aperta…l’uomo è limitato, ha sotto gli occhi un panorama piccolo ha bisogno dell’apporto degli altri.
Non si può spiegare veramente la letteratura senza filosofia, teologia, matematica. Il problema di Dio c’è in tutti gli autori non solo in Dante “Devi conoscere la teologia” quando parla ai letterati dice” Se non conoscila teologia…smetti di cercare”la conoscenza è dialogica. La persona non è come ce la fa credere la cultura di oggi, un individuo, una persona è una maschera…come quella usata per far sentire la voce nella tragedia. La persona è un io che ha bisogno di un tu per diventare un noi. La vera natura della persona è legata alla visione cristiana perché la persona è fatta a immagine di Dio, che non è solo una Trinità. La persona è creata a immagine di Dio ma questo supera la spiegazione che può dare il linguaggio umano (33esimo canto di Dante, Paradiso)
Natura dialogica della conoscenza è l’io che si esprime e l’io e persona ed ha bisogno degli altri.
Pavese il romanziere che amo più di tutti nel “Mestiere di vivere” dice che noi riceviamo la nostra vita dagli altri e non capisce perché. Il riflesso della Trinità è nella famiglia umana. Il male del 1900 e 21° secolo è quello della solitudine, incomunicabilità…corriamo senza sapere dove, corriamo e basta. Noi siamo limitati umili. Il grande scienziato è sempre umile perché sa e lo dice anche Socrate che “chi è sapiente è colui che sa di non sapere” Più studi e più ti accorgi di essere immerso nell’oceano…Desideriamo sapere, vedere ma non possiamo essere soddisfatti. La filosofia è l’uomo che cerca la verità…sophia, sapienza... L’uomo è come un bambino che continua a chiedere perché! Pensa al cantico dei cantici…noi siamo come addormentati e non vediamo più le cose che ci circondano, non ci rendiamo conto che c’è il sole…ricerca continua. Però ci sono pensatori poderosi che ci danno gioia…ci sembra leggendoli di aver finalmente trovato la verità ma in realtà non arriviamo mai alla vetta. Quella grande costruzione, cattedrale del sapere è una statua dai piedi di argilla. Affascinante ma drammatica è la scoperta…Mito di Sisifo: costretto a portare il masso sulla montagna e quando sta per arrivare il masso rotola giù e l’uomo deve riprendere tutto da capo.
Tutte le scienze sono drammatiche l’unico faro è la teologia..se sei umile ti manda fasci di luce sulla realtà e gioia, calore, scalda il cuore…come il lavoro del fabbro al battere dei martelli i fasci di luce che emana il battito…Io sono laureato in letteratura e teologia…
Platone diceva “Non conosceremo mai la verità a meno che non venga qualcuno a rivelarla”…riflessione sulla rivelazione di Dio ma non cattedratica, una riflessione su quello che stiamo vivendo.
Pensa ad Alessandro Magno che conquista tutto e poi comunque è insoddisfatto, deluso, attonito perché rimane ancora parte della realtà che non potrà mai conoscere non è arrivato e se ne rendo conto.
La scienza si basa su una mentalità sbagliata quella che dice che la scienza domina ci fa capire la realtà…ma la scienza quando è positivista, deraglia.
Bacone, Leonardo da Vinci, Galileo il padre della scienza moderna
Scienza come ramo della filosofia
Leonardo dice che non c’è scienza senza esperienza ma misurata matematicamente
Galileo dice che tutto ciò che cade sotto l’esperienza, ciò che possiamo vedere, toccare, misurare matematicamente…ma quello che lui chiama scienza è il regno del fenomeno da faino apparire. La scienza si limita a quella parte della realtà che appare, e ciò che non vediamo non esiste.
Esiste il numeno, per lui, il sotto…e quella parte della realtà è indagine della filosofia, ciò che sta sotto, oggetto di un’altra scienza la filosofia o la teologia. Tanto è vero che Eulero dice “Ma che scienza è questa? Cosa so io dell’erba quando mi limito a descrivere il filo verde che appare e trascura quello sotto, che non vedo, ma che c’è e che lo lega a tutti gli altri fili d’erba ed alle radici…
Il Positivismo dice: è vero tutto ciò che posso vedere, toccare, sperimentare e portare a mio vantaggio. Esiste solo il fenomeno il resto no, questo è un deragliamento della ragione arroganza, ubriacatura…le scienze ebbero un incremento nel loro sviluppo…i bambini, nuovi nati venivano chiamati “Progresso” in onore della scienza…Assurdo…a questo si ribella anche Leopardi nella Ginestra “Il nostro secolo è superbo e sciocco…il Vesuvio per esempio ti può travolgere con la sua potenza e questo dimostra che l’uomo è piccolo ed è una creatura fragile”.
Pascoli dice”Scienza tu hai fallito”
A fine 1800 però ritorna la nostalgia di quello che era stato cancellato…col naturalismo francese e verismo italiano che dicono che c’è bisogno di anima, spirito, irrazionalismo.
Tutta la cultura moderna è dominata da 2 correnti:razionalismo e irrazionalismo. Il razionalismo dice che la ragione è misura di tutte le cose e ciò che non misura non esiste…stessa parole dell’illuminismo e la sua dea ragione messa sull’altare di Notre Dame.
L’irrazionalismo dice invece che la ragione indaga ma c’è sempre un margine di mistero che sfugge.
Oggi c’è un’ipoteca di positivismo che continua. Si dice “esiste questo” altro non esiste e la scienza dà le sua interpretazioni materialistiche. In tutti gli autori viene fuori un prepotente bisogno di Dio.
Pirandello: nei suoi scritti si sente questo bisogno di verità, in lui c’è esigenza di Dio “La terra è fatta per le bestie che mangiano, hanno bisogni fisiologici, ma in me c’è come un calabrone che non mi lascia in pace, per noi c’è qualcos’altro, superfluo, cioè qualcosa che scorre oltre la natura umana, la realtà materiale, la nostalgia di qualcosa di ultraterreno, il mistero. Nei Giganti della Montagna dice “Basta ragionare, il ragionamento non porta a niente, per cercare la verità bisogna credere, essere come i bambini, i miracoli appaiono intorno a noi continuamente dobbiamo solo aprire gli occhi per vederli. Aristotele parlava di un principio fondamentale, quello della causalità. Esiste il mondo, io ho l’intelligenza per capire chi l’ha fatto. Che è X ma x è stato fatto da y e è stato fatto da z…insomma si può andare indietro all’infinito senza dire niente ma ad un certo punto se ci fermiamo, troveremo il motore immobile. La ragione ti porta a scoprirlo. Per gli illuministi c’è il mondo e chi l’ha fatto? Un grande architetto questo però ora non si cura di noi, c’è ma non si cura più…questo è deismo che poi sfocia nell’ateismo in Nietsche; “ Dio è morto”…io non ho più padroni sono libero e la realtà è un mare nostrum.
Poi nel 1900 arriva Sartre che dice che Dio è morto ma noi siamo soli, disperatamente soli. Il problema del 1900 diventa quello di costruire un’etica, e se non c’è Dio diventa impossibile costruire un’etica. Cosa diventa giusto Quello che dico io può essere il contrario di quello che dice un altro, ma chi avrebbe ragione? Il più forte!
Horcheimer: se non c’è Dio cadiamo nella giungla “ C’è bisogno di un’etica!”
Camus arriva alla morale della pietà, compassione…soffrire con chi soffre e aiutarlo nella “Peste”
L’irrazionalismo dice che la ragione non basta e poi arriva il simbolismo in cui le cose diventano simbolo di qualcosa di più profondo. La materia è una foresta di simboli: Baudelaire.
Poi rivoluzione del 1900, il decadentismo.
Fino al 1900 la filosofia classica diceva che esiste il mondo e l’io che guarda il mondo e cerca di capirlo. L’intelligenza diventa ponte tra l’io ed il mondo.
Decadentismo: non c’è più l’io di fronte al mondo ma anche lui fa parte del mondo. Il mio ponte fra me e la realtà non è più solo l’intelligenza ma l’inconscio che è la parte più naturale di me. L’istinto si rifugia nel sogno perché lì non c’è più controllo, si manifesta e basta ecco perché nell’arte e letteratura moderna il sogno è così importante.
Enigma, limite dell’uomo che è limitato…allora grande sofferenza dei romantici. Certo la nostra intelligenza ci porta molto avanti in quell’oceano, ma ad un certo punto non riesce più a procedere, si perde nella notte, si scontra col mistero…occorre diradarla allora ecco che parla la 9°di Beethoven o il 33esimo canto del Paradiso di Dante.
Vedi…la cultura è come le ciliegie… ne mangi una e poi non smetteresti più di mangiarle.
Michelangelo, è un esempio, modella la materia in modo perfetto ma arriva alle ultime sculture, sbozza le statue e si ferma, smette. Ha in testa un’idea di perfezione così alta che anche se è così perfetto sente che non è abbastanza. La sua è una sete insaziabile, quella d’infinito che ha dentro.
La nostra condizione umana è analizzata da Malraux…affascinante ma drammatica. Noi siamo creature ma essendo creati abbiamo in noi l’impronta del Creatore, la nostalgia, la tensione verso l’infinito…drammaticità del nostro essere così capiamo Schubert, i Notturni di Chopin, Mozart la k622 concerto per clarinetto ed orchestra. Ci sentiamo dentro una nostalgia infinita, struggente, malinconica, nostalgia sconfinata dell’infinito, del Paradiso terrestre.
Arte. L’uomo ha bisogno di esprimersi anche nel lavoro, di parlare..il grande artista e matematico di conseguenza, sa dirci qualcosa di più di quello che siamo, sa esprimere in misura più marcata quel grande mistero che è in noi. Domanda fondamentale che rimbalza. Hanno una maggiore sensibilità, maggiore capacità tecnica. Perché dico che mi piace un’opera di Beethoven? Perché lui è riuscito a dire quello che sono io.
Molti professori purtroppo sono bidelli che hanno sbagliato posto di lavoro o archeologi.
L’arte invece è fuoco, ti deve incendiare, ti deve far sentire vivo…noi tendiamo a diventare uno stagno, siamo addormentati, l’arte ci restituisce vivi, porta gioia…
In Pitagora la matematica diventa religione. La vita è tutta un gioco con il mistero, bagliori improvvisi che alimentano il desiderio che il mistero si riveli, gocce di rugiada. La certezza arriverà nel momento in cui si svelerà e allora crollerà il muro d’ombra che ci impedisce di vedere al di là, il Signore. Ungaretti parla di muro d’ombra.
Montale: il muro ricorre in tutta la sua poesia.
La nostra condizione umana è quella di chi desidera vedere ma non riesce a scavalcare. Nella ricerca umana, l’arte cerca di dare una risposta a questo desiderio di vedere al di là…farlo credere e sfociare nell’infinito
Ignazio d’Antiochia catturato per essere dato in pasto alle fiere a Roma trova protettori fra persone altolocate che si sono convertite al cristianesimo ma lui scrive una lettera ai romani chiedendo di essere lasciato morire perché per lui morire sarà come nascere, approdo finalmente a Dio. Giunto là sarò finalmente uomo. Abbiamo dentro una nostalgia…guardiamo, cerchiamo siamo inquieti
Oggi c’è molto pressappochismo… nebbia.
La matematica è utile nella vita quotidiana, di ogni giorno perché ci abitua al rigore, all’essere esigenti, precisi, andare a fondo nelle cose. Ci dà una formazione mentale, ci forma la testa scientifica ma non in senso positivista cioè facendoci credere che esiste solo quello che vediamo ma nel senso meno rigoroso. Noi abbiamo la ragione. Niente ci basta perché vogliamo la luce che in fondo è un abisso; Lewis “lettere di berlicche” la luce è un abisso dobbiamo lasciarci andare…ebbrezza della libertà, luce, amore…e tutto viene a coincidere dobbiamo solo essere persone disarmate…
……
Per concludere…
Platone nel Fedone dice che “Bisogna prendere quello dei ragionamenti umani che sia il migliore ed il più inconfutabile, e lasciandosi portare da questo come su una zattera, navigare a proprio rischio attraverso il mare della vita, a meno che non si possa essere trasportati con maggiore sicurezza e con minor ischio su un mezzo più saldo, in altri termini su una rivelazione divina”
Michelangelo “Giunto è già il corso della mia vita con tempestoso mar, per fragil barca, al comun porto, ov’a render si varca conto a ragion d’ogni apra trista e pia. Né pianger, né scolpir fie più che quieti l’anima, volta a quell’amor divino c’aperse, a prender noi, n’croce le braccia” (sonetto della vecchiaia)
Schubert e Chopin: la loro vita è un intendere qualcosa di ideale che non riuscivano a raggiungere. Lo dicono attraverso il canto, perché il canto è l’espressione più esplicita di un bisogno, è ancor più di un urlo, è l’uomo puro. In Chopin questo canto esprime il bisogno di qualcosa che hai stampato dentro eppure ti sfugge, non ha volto preciso è l’Assoluto. Nella loro musica si avverte una malinconia intensa, una mancanza, un desiderio così acuto si qualcosa di impossibile, tanto che puoi intuire l’esistenza di un infinito concreto, amico. Il mondo è carico di incantevoli promesse ma ognuno lo attraversa in solitudine.
Molte volte al giorno mi faccio il segno della croce, dunque pronunci oil Dogma della Trinità
…la matematica mi ripete che la vita non è individualismo, ma comunione, donazione, amore. E la Trinità mi richiama alla mente che il numero 3 è il numero che costituisce al base architettonica del poema che amo sopra tutti gli altri “La Divina Commedia”.
Senza Euclide noi saremmo diversi, altro sarebbe il nostro modo di guardare e analizzare la realtà. Nella sua opera “Elementi” non si rivolge mai alla pratica, egli parla soltanto di presupposti teorici, offre i presupposti ad un metodo…ed è stato seguito da studiosi, artisti, scienziati, come ancora oggi nei libri di scuola. Possiamo dire che siamo Euclidei nell’anima.
...da qualche parte c'è una fine? ricerca umana e frattali
Figura geometrica in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta. Questo significa che ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli. Contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica un frattale invece di perdere dettaglio quando è ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari. Il termine frattale fu coniato da Mandelbrot e ha origine nel termine latino fractus, poichè la dimensione di un frattale non è intera.
Dalla fine del XIX secolo la scienza si è orientata verso lo studio di sistemi complessi: basti pensare allo sviluppo eccezionale che ha avuto la teoria quantomeccanica o quella della relatività. Queste due teorie sono indice di come la ricerca, anche grazie a metodi matematici potentissimi e a livelli di astrazione mai raggiunti fino al XX secolo, non sia più legata all'immediata comprensibilità da parte dell'Uomo.
L'ultima frontiera della fisica, sta cercando di provare che materia, energia, spazio e tempo sono generati da vibrazioni delle supercorde, cioè oggetti indivisibili a 10 dimensioni.
Nonostante i grandiosi progressi fatti, oggi, scoprire le leggi fondamentali e comprendere "in principio" la struttura del mondo, non è più sufficiente. Sempre più importante diventa investigare le molteplici forme attraverso le quali si manifestano tali principi, le leggi devono diventare sempre più accurate nella descrizione di ogni tipo di fenomeno.
Newton ha creato un Universo parallelo a quello reale, un universo nel quale un corpo con una certa velocità iniziale, sul quale non agiscano forze, la mantiene fino alla fine del tempo (anche esso infinito). Ma non corrisponde alla realtà! Ogni corpo cambierà velocità e il tempo stesso ha avuto un inizio (e forse avrà anche una fine, se la materia dell'Universo dovesse superare un limite critico). In questo universo reale sono presenti infiniti elementi "perturbatori", il che lo rende fondamentalmente diverso dall'universo newtoniano.
Questa tendenza alla complessità, può essere bene esemplificata appunto dai frattali, figure geometriche complesse e caotiche determinate per approssimazione di una funzione ricorsiva: noi non potremo mai sapere come sia la figura finale che ha le proprietà di una frattale, ma dovremo sempre limitarci ad un'approssimazione, che può essere indicativa ma non è il frattale. È la stesso problema che si verifica nei sistemi cosiddetti "non lineari": non è possibile determinare la situazione finale date solo le condizioni di partenza, ma bisogna continuamente aggiungere dati "sperimentali". Queste problematiche hanno dato l'avvio allo studio del "caos deterministico", cioè di situazioni di disordine ottenute però da processi matematico-fisici deterministici. Gli studi a proposito sono ancora in grande sviluppo e i frattali si inseriscono prepotentemente in questa nuova branca della matematica. Noi non possiamo sapere come sarà la configurazione finale del sistema a infinite iterazioni, ma sapremmo benissimo come calcolarla; è una situazione simile a quella del fisico classico che conosce perfettamente come si muove un corpo, anche considerando attriti, campi elettromagnetici dell'ambiente e del corpo stesso e tutti gli altri possibili elementi perturbatori, ma non sa il vero valore di p. Probabilmente i suoi calcoli saranno accurati a sufficienza per ogni tipo di applicazione pratica possibile e immaginabile, ma non potrebbe prevedere deterministicamente la situazione del sistema dopo un tempo infinito.
Tuttavia con lo sviluppo continuo ed esponenziale della capacità di calcolo, si possono creare figure che hanno la stessa valenza matematica per la rappresentazione del frattale vero e proprio (quello che ha, cioè, significato matematico e che gode di alcune proprietà) della valenza di un segno su un foglio per la rappresentazione della retta. Il computer si sostituisce quindi alla matita, non alla mente del matematico, che è l'unico mezzo in grado di fare della matematica. Infatti i frattali erano già stati studiati per le loro proprietà topologiche da Julia negli anni '20, ma non erano mai stati visualizzati graficamente, né si sapeva come potesse essere la forma dei "bacini di attrazione" di una funzione che veniva continuamente iterata con se stessa. Tutto quello che è mancato a Julia è stata la capacità di calcolo che ha invece avuto B. B. Mandelbrot negli anni '80 al centro "T. J. Watson" dell'IBM. E certamente questo, cioè riuscire a visualizzare questi strani oggetti matematici e associarli a forme presenti in Natura, ha determinato il successo di Mandelbrot; questa associazione sembra quasi svelare un progetto segreto che un'entità superiore abbia realizzato per via matematica creando la Natura. Per questo negli anni '80 si è cercato di trovare in tutto un frattale. Si è sviluppata quindi una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura. I risultati a volte sono stati stupefacenti, infatti uno dei frattali biomorfi più riusciti è la foglia di felce i cui dettagli, detti autosimili, riproducono sempre la stessa figura. Tuttavia, per esempio, in un albero, la foglia è strutturalmente diversa dal tronco e dai rami quindi i frattali possono essere usati come analogie.
Non viviamo più nell' universo liscio di Newton, ma nell'Universo delle iperconnessioni, della pluridimensionalità e della relatività, che lo rendono piegato e rugoso come un straccio. Forse non è facile accettare una situazione come questa dopo tre secoli nei quali l'universo ci è parso liscio e sicuro, illuminato dalla rassicurante presenza di Isaac Newton.I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all’infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Questa è la “definizione” più intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante, ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa.
Dalla fine del XIX secolo la scienza si è orientata verso lo studio di sistemi complessi: basti pensare allo sviluppo eccezionale che ha avuto la teoria quantomeccanica o quella della relatività. Queste due teorie sono indice di come la ricerca, anche grazie a metodi matematici potentissimi e a livelli di astrazione mai raggiunti fino al XX secolo, non sia più legata all'immediata comprensibilità da parte dell'Uomo.
L'ultima frontiera della fisica, sta cercando di provare che materia, energia, spazio e tempo sono generati da vibrazioni delle supercorde, cioè oggetti indivisibili a 10 dimensioni.
Nonostante i grandiosi progressi fatti, oggi, scoprire le leggi fondamentali e comprendere "in principio" la struttura del mondo, non è più sufficiente. Sempre più importante diventa investigare le molteplici forme attraverso le quali si manifestano tali principi, le leggi devono diventare sempre più accurate nella descrizione di ogni tipo di fenomeno.
Newton ha creato un Universo parallelo a quello reale, un universo nel quale un corpo con una certa velocità iniziale, sul quale non agiscano forze, la mantiene fino alla fine del tempo (anche esso infinito). Ma non corrisponde alla realtà! Ogni corpo cambierà velocità e il tempo stesso ha avuto un inizio (e forse avrà anche una fine, se la materia dell'Universo dovesse superare un limite critico). In questo universo reale sono presenti infiniti elementi "perturbatori", il che lo rende fondamentalmente diverso dall'universo newtoniano.
Questa tendenza alla complessità, può essere bene esemplificata appunto dai frattali, figure geometriche complesse e caotiche determinate per approssimazione di una funzione ricorsiva: noi non potremo mai sapere come sia la figura finale che ha le proprietà di una frattale, ma dovremo sempre limitarci ad un'approssimazione, che può essere indicativa ma non è il frattale. È la stesso problema che si verifica nei sistemi cosiddetti "non lineari": non è possibile determinare la situazione finale date solo le condizioni di partenza, ma bisogna continuamente aggiungere dati "sperimentali". Queste problematiche hanno dato l'avvio allo studio del "caos deterministico", cioè di situazioni di disordine ottenute però da processi matematico-fisici deterministici. Gli studi a proposito sono ancora in grande sviluppo e i frattali si inseriscono prepotentemente in questa nuova branca della matematica. Noi non possiamo sapere come sarà la configurazione finale del sistema a infinite iterazioni, ma sapremmo benissimo come calcolarla; è una situazione simile a quella del fisico classico che conosce perfettamente come si muove un corpo, anche considerando attriti, campi elettromagnetici dell'ambiente e del corpo stesso e tutti gli altri possibili elementi perturbatori, ma non sa il vero valore di p. Probabilmente i suoi calcoli saranno accurati a sufficienza per ogni tipo di applicazione pratica possibile e immaginabile, ma non potrebbe prevedere deterministicamente la situazione del sistema dopo un tempo infinito.
Tuttavia con lo sviluppo continuo ed esponenziale della capacità di calcolo, si possono creare figure che hanno la stessa valenza matematica per la rappresentazione del frattale vero e proprio (quello che ha, cioè, significato matematico e che gode di alcune proprietà) della valenza di un segno su un foglio per la rappresentazione della retta. Il computer si sostituisce quindi alla matita, non alla mente del matematico, che è l'unico mezzo in grado di fare della matematica. Infatti i frattali erano già stati studiati per le loro proprietà topologiche da Julia negli anni '20, ma non erano mai stati visualizzati graficamente, né si sapeva come potesse essere la forma dei "bacini di attrazione" di una funzione che veniva continuamente iterata con se stessa. Tutto quello che è mancato a Julia è stata la capacità di calcolo che ha invece avuto B. B. Mandelbrot negli anni '80 al centro "T. J. Watson" dell'IBM. E certamente questo, cioè riuscire a visualizzare questi strani oggetti matematici e associarli a forme presenti in Natura, ha determinato il successo di Mandelbrot; questa associazione sembra quasi svelare un progetto segreto che un'entità superiore abbia realizzato per via matematica creando la Natura. Per questo negli anni '80 si è cercato di trovare in tutto un frattale. Si è sviluppata quindi una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura. I risultati a volte sono stati stupefacenti, infatti uno dei frattali biomorfi più riusciti è la foglia di felce i cui dettagli, detti autosimili, riproducono sempre la stessa figura. Tuttavia, per esempio, in un albero, la foglia è strutturalmente diversa dal tronco e dai rami quindi i frattali possono essere usati come analogie.
Non viviamo più nell' universo liscio di Newton, ma nell'Universo delle iperconnessioni, della pluridimensionalità e della relatività, che lo rendono piegato e rugoso come un straccio. Forse non è facile accettare una situazione come questa dopo tre secoli nei quali l'universo ci è parso liscio e sicuro, illuminato dalla rassicurante presenza di Isaac Newton.I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all’infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Questa è la “definizione” più intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante, ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa.
Il canone come i FRATTALI...
I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all'infinito di uno stesso motivo su scala sempre più ridotta. Una ripetizione che assomiglia a quella dei canoni barocchi e che assomiglierà soprattutto alla musica minimalista del 1900…Generalmente vengono rappresentati visivamente, ma essendo funzioni matematiche, è possibile associarvi una rappresentazione sonora. Esistono software che permettono di inserire funzioni e di ascoltarle, oppure di trasformare in suono immagini di frattali.
Bach...da Odifreddi" Penna, penneloe bacchetta"
1685 – 1750
In lui emerge la maestosa sicurezza dei mezzi formali, soprattutto della tecniche matematiche. Superò i suoi contemporanei, soprattutto nella tecnica contrappuntistica; e nell’uso dei canoni:
9 canoni delle “Variazioni Goldberg” 1741
i 14 “Sulle prime otto note dell’aria della variazioni Goldberg”
le 5 “Variazioni canoniche sul tema “Io scendo dalle stelle” 1747
i 10 canoni dell’”Offerta musicale” 1747
i 4 dell’Arte della fuga” 1750
VARIAZIONI GOLDBERG
Raccolta di brani che manifesta simmetria. Le variazioni si compongono di 32 pezzi:
1 aria, 30 variazioni, e le ripetizione dell’aria.
ARIA: consiste di 32 battute, o 16 ritornelli, o 8 periodi, o 4 frasi, o 2 parti.
I nove canoni sono poi le variazioni di numero divisibile per 3, dalla terza alla ventisettesima, e vanno nell’ordine dall’unisono all’ottava.
OFFERTA MUSICALE
Ha una perfetta simmetria geometrica:
1 ricerca, 5 canoni, 1 sonata, 5 canoni, 1 ricercar.
I tipi dei canoni si ripetono nei 2 gruppi. La sonata stessa è simmetrica: 4 movimenti che alternano lento e veloce. Queste cose rivelano una sensibilità ed un interesse di Bach di un certo tipo e che si manifesta soprattutto riguardo al numero 14, ottenuto sommando le cifre del numero 2138 corrispondente al suo nome (1 per la A, 2 per la B…)
Per questo motivo 14 sono le fughe dell’”Arte”, o i canoni di “Sulle prime 8 note”, o le note di vari temi della sue composizioni, ad esempio la prima fuga del “Clavicembalo ben temperato”
Analogamente 41 è il numero che corrisponde a J.S Bach, e oltre a essere il retrogrado di 14, è non solo un numero primo, ma anche la somma dei tre numeri primi consecutivi 11, 13, 17.
A proposito dell’interesse scientifico di Bach, nel 1738 il suo allievo Lorenz Christoph Mizler aveva fondato a Lipsia una Società per le Scienze Musicali, con l’intento di mostrare i legami della matematica con la musica. Mizler diceva che “la musica è il suono della matematica” .
La Società arrivò negli anni ad avere 19 membri, fra i quali Telemann e Handel. Bach vi entrò nel 1747, anno in cui il 14 compare 2 volte e come quattordicesimo membro.
Per l’ammissione bisoganva produrre una composizione musicale, e presentare un ritratto. Bach prese due piccioni con una fava: il ritratto lo raffigura, oltre che con 14 bottoni d’argento, anche con lo spartito di un “Canone triplo a 6 voci” in mano. Si tratta del penultimo dei 14 canoni “Sulle prime otto note”, ed è ovviamente enigmatico (ammette 480 soluzioni).
Benché l’interesse per la simmetria dei brani musicali abbia raggiunto l’apice con la musica barocca, non si perse completamente in seguito. Ad esempio nella “Sinfonia n°47” di Haydn, detta “La palindrome” 1772, il minuetto ed iltrio sono entrambi al rovescio.Analogamente per i trii della “Serenata in do minore K 388, 1782; e del “Quintetto in do minore K 406” 1788, di Mozart.
Quanto al “Duo per violino e viola in sol maggiore K 432” 1783 sempre di Mozart, è scritto su un solo foglio di spartito: gli esecutori lo leggono da due lati opposti, e suonanola musica in direzioni contrarie, uno da capo al fine e l'altro al contrario. Ci sono anche dei diesis che naturalmente operano su note diverse nella due letture: la cosa non funzionerebbe invece coi bemolli, perchè il segno del bemolle non è simmetrico.
Passando al 1900, nel 1927 Hindemith compone l'operapalindromica "Avanti e indietro". La scena inizia pacatamente in cucina a colazione, ma degenera quando il marito scopre che la moglie ha un amante: prima uccide lei e poi si suicida buttandosi dalla finestra. Arriva però una specie di santone filosofo, che fa tornare gli eventi indietro verso la resurrezione dei due ed il lieto fine, mentre anche la musica ele liriche si capovolgono. l'opera finisce con la stessa nota, e sullo stessotono, concui era iniziata.
Da parte sua il dodecafonico Webern fu talmente ossessionato dalla simmetria bidimensionale del SATOR AREPO che, oltre a farselo scrivere sulla tomba, con le date dinascita e di morte ai due lati, ne usò nel 1934 una versione per la serie a trasposizioni limitate del "Concerto op 24".
E il fascino del SATOR AREPO continua a colpire, se nel 1968 Gumbel Martin ha scritto tre pez per flauto omonimi di cui il primo porta come sottotitolo "variazioni su un quadrato magico"
Dal canto suo Messiaenha usato sitematicamente un tipo diverso di simmetria, a livello del ritmo (durata delle note) Ad esempio nella "Danza del furore" del "Quartetto per la fine die tempi 1941 compaiono ritmi con durate 3, 5, 8, 5, 3 (tutti i numeri di Fibonacci) o 4, 3, 7, 3, 4.
Più in generale, la "Turangalila Symphonie 1948" è piena di contrappunti e canoni ritmici, che riproducononeiritmi le forme che la musica barocca produceva nelle melodie.
In lui emerge la maestosa sicurezza dei mezzi formali, soprattutto della tecniche matematiche. Superò i suoi contemporanei, soprattutto nella tecnica contrappuntistica; e nell’uso dei canoni:
9 canoni delle “Variazioni Goldberg” 1741
i 14 “Sulle prime otto note dell’aria della variazioni Goldberg”
le 5 “Variazioni canoniche sul tema “Io scendo dalle stelle” 1747
i 10 canoni dell’”Offerta musicale” 1747
i 4 dell’Arte della fuga” 1750
VARIAZIONI GOLDBERG
Raccolta di brani che manifesta simmetria. Le variazioni si compongono di 32 pezzi:
1 aria, 30 variazioni, e le ripetizione dell’aria.
ARIA: consiste di 32 battute, o 16 ritornelli, o 8 periodi, o 4 frasi, o 2 parti.
I nove canoni sono poi le variazioni di numero divisibile per 3, dalla terza alla ventisettesima, e vanno nell’ordine dall’unisono all’ottava.
OFFERTA MUSICALE
Ha una perfetta simmetria geometrica:
1 ricerca, 5 canoni, 1 sonata, 5 canoni, 1 ricercar.
I tipi dei canoni si ripetono nei 2 gruppi. La sonata stessa è simmetrica: 4 movimenti che alternano lento e veloce. Queste cose rivelano una sensibilità ed un interesse di Bach di un certo tipo e che si manifesta soprattutto riguardo al numero 14, ottenuto sommando le cifre del numero 2138 corrispondente al suo nome (1 per la A, 2 per la B…)
Per questo motivo 14 sono le fughe dell’”Arte”, o i canoni di “Sulle prime 8 note”, o le note di vari temi della sue composizioni, ad esempio la prima fuga del “Clavicembalo ben temperato”
Analogamente 41 è il numero che corrisponde a J.S Bach, e oltre a essere il retrogrado di 14, è non solo un numero primo, ma anche la somma dei tre numeri primi consecutivi 11, 13, 17.
A proposito dell’interesse scientifico di Bach, nel 1738 il suo allievo Lorenz Christoph Mizler aveva fondato a Lipsia una Società per le Scienze Musicali, con l’intento di mostrare i legami della matematica con la musica. Mizler diceva che “la musica è il suono della matematica” .
La Società arrivò negli anni ad avere 19 membri, fra i quali Telemann e Handel. Bach vi entrò nel 1747, anno in cui il 14 compare 2 volte e come quattordicesimo membro.
Per l’ammissione bisoganva produrre una composizione musicale, e presentare un ritratto. Bach prese due piccioni con una fava: il ritratto lo raffigura, oltre che con 14 bottoni d’argento, anche con lo spartito di un “Canone triplo a 6 voci” in mano. Si tratta del penultimo dei 14 canoni “Sulle prime otto note”, ed è ovviamente enigmatico (ammette 480 soluzioni).
Benché l’interesse per la simmetria dei brani musicali abbia raggiunto l’apice con la musica barocca, non si perse completamente in seguito. Ad esempio nella “Sinfonia n°47” di Haydn, detta “La palindrome” 1772, il minuetto ed iltrio sono entrambi al rovescio.Analogamente per i trii della “Serenata in do minore K 388, 1782; e del “Quintetto in do minore K 406” 1788, di Mozart.
Quanto al “Duo per violino e viola in sol maggiore K 432” 1783 sempre di Mozart, è scritto su un solo foglio di spartito: gli esecutori lo leggono da due lati opposti, e suonanola musica in direzioni contrarie, uno da capo al fine e l'altro al contrario. Ci sono anche dei diesis che naturalmente operano su note diverse nella due letture: la cosa non funzionerebbe invece coi bemolli, perchè il segno del bemolle non è simmetrico.
Passando al 1900, nel 1927 Hindemith compone l'operapalindromica "Avanti e indietro". La scena inizia pacatamente in cucina a colazione, ma degenera quando il marito scopre che la moglie ha un amante: prima uccide lei e poi si suicida buttandosi dalla finestra. Arriva però una specie di santone filosofo, che fa tornare gli eventi indietro verso la resurrezione dei due ed il lieto fine, mentre anche la musica ele liriche si capovolgono. l'opera finisce con la stessa nota, e sullo stessotono, concui era iniziata.
Da parte sua il dodecafonico Webern fu talmente ossessionato dalla simmetria bidimensionale del SATOR AREPO che, oltre a farselo scrivere sulla tomba, con le date dinascita e di morte ai due lati, ne usò nel 1934 una versione per la serie a trasposizioni limitate del "Concerto op 24".
E il fascino del SATOR AREPO continua a colpire, se nel 1968 Gumbel Martin ha scritto tre pez per flauto omonimi di cui il primo porta come sottotitolo "variazioni su un quadrato magico"
Dal canto suo Messiaenha usato sitematicamente un tipo diverso di simmetria, a livello del ritmo (durata delle note) Ad esempio nella "Danza del furore" del "Quartetto per la fine die tempi 1941 compaiono ritmi con durate 3, 5, 8, 5, 3 (tutti i numeri di Fibonacci) o 4, 3, 7, 3, 4.
Più in generale, la "Turangalila Symphonie 1948" è piena di contrappunti e canoni ritmici, che riproducononeiritmi le forme che la musica barocca produceva nelle melodie.
1700
Vivaldi, Bach, Rameau, Handel...questi 4 autori compiono la rivoluzione della musica nel 1700.Tutta la razionalità della musica, la scientificità dell'armonia, il consolidamento dei rapporti armonici e della forma avviene con loro. Cominciano a delinare in modo chiaro e preciso, razionale il linguaggio armonico. Diverse composizioni di Vivaldi infatti hanno come titolo "l'estro armonico". Bach amava intensamente Vivaldi perchè aveva avvertito il impegno nella sistemazione tonale. Dalo studio di Vivaldi uscirà il Clavicembalo bel temperato.
Anche dal punto di vista delle forme avviene una sistemazione per :
la forma del CONCERTO:
diviso in 3 tempi (1° monotematico e bipartito - 2° adagio - 3° allegro)
della SUITE:
costituita da un insieme di sezioni: allemanda - giga - corrente - sarabanda
Anche dal punto di vista delle forme avviene una sistemazione per :
la forma del CONCERTO:
diviso in 3 tempi (1° monotematico e bipartito - 2° adagio - 3° allegro)
della SUITE:
costituita da un insieme di sezioni: allemanda - giga - corrente - sarabanda
HARDY, matematico inglese
"la matematica proprio come la musica può stimolare e alimentare un modo supremo del pensiero, ampliando la felicità di coloro che la creano o la capiscono".
GALILEI VINCENZO
GALILEO GALILEI
Pioniere di quella rivoluzione culturale che è la scienza nuova.
VINCENZO GALILEI, liutista pisano, è il padre di Galileo
Considerato uno dei più grandi compositori e teorici musicali dell’epoca.
Studierà sotto la guida di Zarlino…ma poi non esita a sfidarlo, quando si accorge che le teorie del maestro sono fondate su un mero pregiudizio, sebbene colto. Il punto di contrasto tra i due riguarda le forme musicali, che nel Rinascimento in generale e nella musica di Zarlino in particolare sono fondate sulla polifonia vocale. Ma poiché Galilei e Zarlino si occupano di teoria musicale in un epoca, in cui la teoria della musica è considerata una branca della matematica, la disputa riguarderà anche il rapporto tra la matematica ed il mondo fisico.
Ha il merito di aver realizzato nel campo della musica, una rivoluzione comparabile a quella del figlio nella scienza. Dimostra che arte e scienza – 2 dimensioni della cultura umana ritenute troppo spesso agli antipodi e sostanzialmente incomunicanti- possono non solo essere collegate tra loro da fili piuttosto robusti, ma anche, che questo processo a volte carsico di trasmissione culturale è per sua natura bidirezionale. Il passaggio può avvenire l’una dall’altra, dalla scienza all’arte, ma anche dall’arte alla scienza, secondo percorsi imprevedibili.
Vincenzo sostiene che la vera potenza della musica della Grecia classica, consiste nell’utilizzo di una singola melodia. Propone quindi una radicale rivoluzione della musica polifonica rinascimentale in un libro “Dialogo della musica antica e della moderna” 1581.
Zarlino difende le sue teorie ed attacca l’allievo…sarà un conflitto di natura esclusivamente musicale.
Vincenzo introdurrà il figlio Galileo alla matematica di Pitagora ed alle note regole dei rapporti musicali elaborate due millenni prima dal filosofo greco.
Ma riconsidera le esperienze di Pitagora che non erano più state verificate, reintroducendo una necessità sperimentale da troppo tempo dimenticata.
La sua importanza storica è dovuta al fatto che dà nuova vita ad Aristosseno e contesta l'estetica pitagorica. Realizza quindi compiutamente, per la prima volta nella storia, una critica completa del pitagorismo.
Vincenzo insegna al figlio che, per quanto grande siano il filosofo greco e le sue regole, talvolta occorre saper andare “oltre Pitagora”, se non si vuole piegare la realtà naturale a principi astratti, ancorchè matematicamente convincenti.
Vincenzo infatti non si limita ad applicare le regole musicali di Pitagora, perché così è scritto.
Ma con veri esperimenti intendi verificare se e come nella realtà fisica quelle regole funzionano.
Insomma cerca di elaborare una teoria musicale, studiando la fisica del suono. Perché, certo l’armonia de suoni musicali sembra seguire le astratte leggi matematiche di Pitagora. Ma l’armonia deriva dalle fisiche vibrazioni dell’aria. E non è possibile pertanto elaborare una teoria della musica affidandosi all’autorità di Pitagora o di chiunque altro, senza tener conto di come in pratica, si sviluppano le fisiche vibrazioni dell’aria.
I criteri estetici di V. Galilei fanno perno prima di tutto sulla difesa del temperamento eguale, ma anche su considerazioni della massima importanza da un punto di vista filosofico. Infatti la sua tesi “forte” è che tutti i suoni sono “naturali”. “Artificiale” (umano) è invece la divisione dell'ottava. Come per il linguaggio: la voce è naturale, le parole no. Tutto ciò è evidentemente agli antipodi da quanto sostenuto dal suo antico maestro Zarlino. In qualche modo è questa liberazione concettuale che permette l'attuale divisione dell'ottava.
Cercare la verità delle cose nella realtà naturale. Vincenzo decide così di sperimentare come si modifica il suono al variare della lunghezza e della tensione delle corde dei suoi strumenti. E scopre nuove leggi matematiche, dell’armonia dei suoni diverse da quelle pitagoriche. Leggi che sono anche, le prime leggi matematiche ad essere elaborate in fisica, fuori dall’ottica e dall’astronomia. Dimostra che nell’intonare gli strumenti, non sempre è corretto seguire le regole di Pitagora, ma talvolta è necessario seguire regole matematiche diverse. Verificate e verificabili nella pratica. La novità è così grande che nell’ambito della musica compì una “rivoluzione comparabile” a quella del figlio nella scienza. Una rivoluzione che aiuta la stessa pratica musicale a rinnovarsi. Dopo le innovazioni di Vincenzo nasce infatti l’opera, il melodramma, e si sviluppa la modulazione armonica.
E’ attraverso il rifiuto del principio d’autorità e attraverso la verifica sperimentale che Vincenzo elabora una nuova teoria musicale…importanza epistemologica. La teoria musicale era ormai diventata una pura astrazione matematica. Vincenzo la riconduce a “salvare i fatti”
Suo originale rapporto tra musica, matematica ed esperienza. Probabilmente Galileo, apprende dal padre a rifiutare la filosofia “in libris” ed a coniugare in modo “corretto” la fisica sperimentale e la matematica. Il libro della natura è scritto il lingua matematica…ma non basta la matematica per leggerlo. La conoscenza della natura deva basarsi non solo sulle “certe dimostrazioni” ma anche sulle “sensate esperienze”. Epistemologia che è alla base della scienza moderna.
Dimostra quindi che i fili che legano le varie dimensioni della cultura umana sono più numerosi e più robusti di quanti molti pensano. Il processo osmotico tra queste dimensioni è incessante ed imprevedibile. La scienza influenza l’immaginario artistico. Ma anche l’arte a sua volta influenza l’immaginario scientifico.
Pioniere di quella rivoluzione culturale che è la scienza nuova.
VINCENZO GALILEI, liutista pisano, è il padre di Galileo
Considerato uno dei più grandi compositori e teorici musicali dell’epoca.
Studierà sotto la guida di Zarlino…ma poi non esita a sfidarlo, quando si accorge che le teorie del maestro sono fondate su un mero pregiudizio, sebbene colto. Il punto di contrasto tra i due riguarda le forme musicali, che nel Rinascimento in generale e nella musica di Zarlino in particolare sono fondate sulla polifonia vocale. Ma poiché Galilei e Zarlino si occupano di teoria musicale in un epoca, in cui la teoria della musica è considerata una branca della matematica, la disputa riguarderà anche il rapporto tra la matematica ed il mondo fisico.
Ha il merito di aver realizzato nel campo della musica, una rivoluzione comparabile a quella del figlio nella scienza. Dimostra che arte e scienza – 2 dimensioni della cultura umana ritenute troppo spesso agli antipodi e sostanzialmente incomunicanti- possono non solo essere collegate tra loro da fili piuttosto robusti, ma anche, che questo processo a volte carsico di trasmissione culturale è per sua natura bidirezionale. Il passaggio può avvenire l’una dall’altra, dalla scienza all’arte, ma anche dall’arte alla scienza, secondo percorsi imprevedibili.
Vincenzo sostiene che la vera potenza della musica della Grecia classica, consiste nell’utilizzo di una singola melodia. Propone quindi una radicale rivoluzione della musica polifonica rinascimentale in un libro “Dialogo della musica antica e della moderna” 1581.
Zarlino difende le sue teorie ed attacca l’allievo…sarà un conflitto di natura esclusivamente musicale.
Vincenzo introdurrà il figlio Galileo alla matematica di Pitagora ed alle note regole dei rapporti musicali elaborate due millenni prima dal filosofo greco.
Ma riconsidera le esperienze di Pitagora che non erano più state verificate, reintroducendo una necessità sperimentale da troppo tempo dimenticata.
La sua importanza storica è dovuta al fatto che dà nuova vita ad Aristosseno e contesta l'estetica pitagorica. Realizza quindi compiutamente, per la prima volta nella storia, una critica completa del pitagorismo.
Vincenzo insegna al figlio che, per quanto grande siano il filosofo greco e le sue regole, talvolta occorre saper andare “oltre Pitagora”, se non si vuole piegare la realtà naturale a principi astratti, ancorchè matematicamente convincenti.
Vincenzo infatti non si limita ad applicare le regole musicali di Pitagora, perché così è scritto.
Ma con veri esperimenti intendi verificare se e come nella realtà fisica quelle regole funzionano.
Insomma cerca di elaborare una teoria musicale, studiando la fisica del suono. Perché, certo l’armonia de suoni musicali sembra seguire le astratte leggi matematiche di Pitagora. Ma l’armonia deriva dalle fisiche vibrazioni dell’aria. E non è possibile pertanto elaborare una teoria della musica affidandosi all’autorità di Pitagora o di chiunque altro, senza tener conto di come in pratica, si sviluppano le fisiche vibrazioni dell’aria.
I criteri estetici di V. Galilei fanno perno prima di tutto sulla difesa del temperamento eguale, ma anche su considerazioni della massima importanza da un punto di vista filosofico. Infatti la sua tesi “forte” è che tutti i suoni sono “naturali”. “Artificiale” (umano) è invece la divisione dell'ottava. Come per il linguaggio: la voce è naturale, le parole no. Tutto ciò è evidentemente agli antipodi da quanto sostenuto dal suo antico maestro Zarlino. In qualche modo è questa liberazione concettuale che permette l'attuale divisione dell'ottava.
Cercare la verità delle cose nella realtà naturale. Vincenzo decide così di sperimentare come si modifica il suono al variare della lunghezza e della tensione delle corde dei suoi strumenti. E scopre nuove leggi matematiche, dell’armonia dei suoni diverse da quelle pitagoriche. Leggi che sono anche, le prime leggi matematiche ad essere elaborate in fisica, fuori dall’ottica e dall’astronomia. Dimostra che nell’intonare gli strumenti, non sempre è corretto seguire le regole di Pitagora, ma talvolta è necessario seguire regole matematiche diverse. Verificate e verificabili nella pratica. La novità è così grande che nell’ambito della musica compì una “rivoluzione comparabile” a quella del figlio nella scienza. Una rivoluzione che aiuta la stessa pratica musicale a rinnovarsi. Dopo le innovazioni di Vincenzo nasce infatti l’opera, il melodramma, e si sviluppa la modulazione armonica.
E’ attraverso il rifiuto del principio d’autorità e attraverso la verifica sperimentale che Vincenzo elabora una nuova teoria musicale…importanza epistemologica. La teoria musicale era ormai diventata una pura astrazione matematica. Vincenzo la riconduce a “salvare i fatti”
Suo originale rapporto tra musica, matematica ed esperienza. Probabilmente Galileo, apprende dal padre a rifiutare la filosofia “in libris” ed a coniugare in modo “corretto” la fisica sperimentale e la matematica. Il libro della natura è scritto il lingua matematica…ma non basta la matematica per leggerlo. La conoscenza della natura deva basarsi non solo sulle “certe dimostrazioni” ma anche sulle “sensate esperienze”. Epistemologia che è alla base della scienza moderna.
Dimostra quindi che i fili che legano le varie dimensioni della cultura umana sono più numerosi e più robusti di quanti molti pensano. Il processo osmotico tra queste dimensioni è incessante ed imprevedibile. La scienza influenza l’immaginario artistico. Ma anche l’arte a sua volta influenza l’immaginario scientifico.
ZARLINO Joseffo
ZARLINO JOSEFFO 1517 – 1590
Teorico musicale, sacerdote di Chioggia e compositore
1517 “Dimostrazioni armoniche”
1588 “Sopplimenti musicali”
Scrive 1558 “Istitutioni armoniche”
“La musica essere di due sorti, Animastica , & Organica . L'una è harmonia, che nasce dalla compositione di varie cose congiunte insieme in un corpo. L'altra è harmonia, che può nascere da varij istrumenti”
Egli riprese – integrandolo con le principali novità dovute al cristianesimo – l'idea di fondo sottesa a platonismo e pitagorismo. Le regole eleganti e precise di Pitagora riguardo le regole dei rapporti musicali, sono il fondamento della musica di Zarlino e della musica del Rinascimento.
La sua proposta è chiara: la musica è l'espressione di una caratteristica formale del mondo. Il mondo è ordinato e la musica esprime la forma di quest'ordine. Infatti egli articola la cosiddetta musica animastica in due grandi tropi:
- la musica humana: questa riguarda l'abituale pratica compositiva e strumentale.
- la musica mundana (sulla scorta della riflessione boeziana): questa esprime qualcosa di più: si tratta della composizione di elementi a livello universale, di una sintesi realizzata tramite una sorta di composizione chimica (i quattro elementi di Aristotele), oppure tramite l'alternanza ciclica degli accadimenti (ad esempio le stagioni) che costituiscono un cosmo ordinato e stabile, come possiamo osservare nel movimento regolare dei pianeti:
“La Mondana è quell'harmonia che non solo si conosce essere tra quelle cose, che si veggono & conoscono nel ciel : ma nel legamento degli Elementi, & nella varietà de i tempi ancor si comprende”.
Ci sono implicazioni epistemologiche di questo atteggiamento che non valgono solo per la musica: ad esempio, se il movimento dei pianeti è una musica allora il tema pitagorico è riproposto nella sua completezza. Così come la musica è espressione di leggi matematiche, anche il movimento dei pianeti lo è: quindi musica e astronomia sono due diverse manifestazioni della stessa architettura matematica. Entrando poi nel merito dello scrivere musica, Zarlino propone tutta una serie di analogie a partire da questa concezione universale, analogie che devono fondare anche le regole per la composizione musicale. Cioè, una composizione musicale è bella se ha dei rapporti analogici con la bellezza naturale della musica mundana .
Si tratta di un'importante opzione estetica: l'arte è imitazione della natura, ma nel senso che imitare la natura vuol dire imitarne le leggi e non gli oggetti che la costituiscono .
Per esempio, nell'attribuzione delle quattro voci utilizzate ai quattro elementi aristotelici.
Insomma, in un certo modo, la bellezza musicale è uno specchio della bellezza naturale – per Zarlino l'arte è mimesis , imitazione – che, a propria volta, è una “manifestazione”, una figura di determinate leggi matematiche. Siamo dunque in pieno pitagorismo e questo tema sottende quello che, da allora, concerne la cosiddetta “armonia delle sfere”.
Riguardo alla musica, la sua è dunque una teoria rigorosamente matematica che definisce il modo maggiore e minore; il primo ottenuto dalla successione ascendente di 6 suoni in rapporto intervallare semplice (analoga, benché non identificabile storicamente, con quella dei primi 6 suoni della serie delle armoniche, scoperte nel 1701 da Sauver).
Il secondo artificialmente, dalla successione simmetrica discendente di 6 suoni corrispondenti.
Il sistema zarliniano determinò il successivo sviluppo della teoria musicale, impostando il principio della tonalità moderna. Ma i trattati di Zarlino non si limitano a svolgere solo problemi di acustica o di rapporto fra i suoni: notevoli sono anche le sue delucidazioni sul contrappunto, tecnica del canone, strumenti musicale, notazione.
Verso la tonalità
A fine Rinascimento, nasce la scienza moderna.
Storicamente, più o meno, la concezione pitagorica era restata la concezione dominante.
Attraverso personaggi come Agostino e Boezio, la tradizione pitagorica era rimasta la definizione costante per la concezione della musica. Il rinascimento, (anche grazie alla ripresa degli studi pitagorici) si caratterizza per la ripresa delle considerazioni di ordine generale sulla musica.
Come al tempo della scienza greca, tuttavia la riflessione sulla musica si interseca con quella della scienza nascente e riprende un dibattito acceso su quelle stesse questioni – con un diverso livello di concettualità – che già si erano viste circa 2000 anni prima. La maggior parte degli scienziati e dei filosofi che diedero un contributo maggiore alla nascita della scienza furono gli stessi che diedero un grande impulso all'elaborazione della teoria della musica rinascimentale e
post-rinascimentale. In realtà il significato del rapporto tra musica e scienze esatte per quanto riguarda il Rinascimento è ancora poco analizzato. Effettivamente l'irruzione storica della fisica galileiana è talmente importante che spesso tutto ciò che vi ha contribuito passa praticamente sotto silenzio.
La musica antica e medievale era prevalentemente melodica e quando era polifonica considerava consonanze (cioè intervalli piacevoli all’orecchio) solamente la quinta e la quarta.
Nel 1500 avviene una rivoluzione, la terza comincia a diventare sempre più importante per la musica polifonica, la base dell’armonia diventa la triade cioè un accordo composto da tre note: la fondamentale, la terza (maggiore o minore) e la quinta. (cosa sono le quarte le quinte e così via?
se si parte dal do e si conta 5 note compresa quella da cui partiamo, facciamo una quinta)
Ma qual è il problema con quello che avevano fatto i pitagorici?
La scala pitagorica è facilissima da accordare anche su strumenti molto rudimentali e suona abbastanza bene per le melodie e bene per gli intervalli di quarta e di quinta, ma l’intervallo di terza maggiore è dato da 81/64 che è una frazione “brutta” da vedere e da sentire, infatti quella che suona bene all’orecchio di terza è 5/4 e i cori tendono ad accordarsi molto più facilmente sulla seconda frazione che sulla prima sostanzialmente per una questione di armonici
Ma 81/64=1,265625 e 5/4=1,2: la differenza non era enorme ma si sente. Il teorico musicale a cui dobbiamo quest’analisi è il veneziano Gioseffo Zarlino che riscopre, in realtà, il lavoro di 2000 anni prima di Archita che però era stato dimenticato durante il medio evo. Zarlino propone una nuova scala, anzi un nuovo temperamento (così si chiama il modo di accordare una stessa scala) che prende il nome di naturale e in un certo senso è quello giusto, perché è fatto da frazioni semplici e quindi è quello che suona più stabile all’orecchio umano. Dal punto di vista fisico si può chiamare naturale perché è basato direttamente sulla serie armonica e non sulla comodità di accordatura.Ora le triadi costruite sul Do sul Fa e sul Sol sono consonanti in modo naturale, è nata l’armonia moderna. Ma i guai non sono ancora finiti.
Storicamente, più o meno, la concezione pitagorica era restata la concezione dominante.
Attraverso personaggi come Agostino e Boezio, la tradizione pitagorica era rimasta la definizione costante per la concezione della musica. Il rinascimento, (anche grazie alla ripresa degli studi pitagorici) si caratterizza per la ripresa delle considerazioni di ordine generale sulla musica.
Come al tempo della scienza greca, tuttavia la riflessione sulla musica si interseca con quella della scienza nascente e riprende un dibattito acceso su quelle stesse questioni – con un diverso livello di concettualità – che già si erano viste circa 2000 anni prima. La maggior parte degli scienziati e dei filosofi che diedero un contributo maggiore alla nascita della scienza furono gli stessi che diedero un grande impulso all'elaborazione della teoria della musica rinascimentale e
post-rinascimentale. In realtà il significato del rapporto tra musica e scienze esatte per quanto riguarda il Rinascimento è ancora poco analizzato. Effettivamente l'irruzione storica della fisica galileiana è talmente importante che spesso tutto ciò che vi ha contribuito passa praticamente sotto silenzio.
La musica antica e medievale era prevalentemente melodica e quando era polifonica considerava consonanze (cioè intervalli piacevoli all’orecchio) solamente la quinta e la quarta.
Nel 1500 avviene una rivoluzione, la terza comincia a diventare sempre più importante per la musica polifonica, la base dell’armonia diventa la triade cioè un accordo composto da tre note: la fondamentale, la terza (maggiore o minore) e la quinta. (cosa sono le quarte le quinte e così via?
se si parte dal do e si conta 5 note compresa quella da cui partiamo, facciamo una quinta)
Ma qual è il problema con quello che avevano fatto i pitagorici?
La scala pitagorica è facilissima da accordare anche su strumenti molto rudimentali e suona abbastanza bene per le melodie e bene per gli intervalli di quarta e di quinta, ma l’intervallo di terza maggiore è dato da 81/64 che è una frazione “brutta” da vedere e da sentire, infatti quella che suona bene all’orecchio di terza è 5/4 e i cori tendono ad accordarsi molto più facilmente sulla seconda frazione che sulla prima sostanzialmente per una questione di armonici
Ma 81/64=1,265625 e 5/4=1,2: la differenza non era enorme ma si sente. Il teorico musicale a cui dobbiamo quest’analisi è il veneziano Gioseffo Zarlino che riscopre, in realtà, il lavoro di 2000 anni prima di Archita che però era stato dimenticato durante il medio evo. Zarlino propone una nuova scala, anzi un nuovo temperamento (così si chiama il modo di accordare una stessa scala) che prende il nome di naturale e in un certo senso è quello giusto, perché è fatto da frazioni semplici e quindi è quello che suona più stabile all’orecchio umano. Dal punto di vista fisico si può chiamare naturale perché è basato direttamente sulla serie armonica e non sulla comodità di accordatura.Ora le triadi costruite sul Do sul Fa e sul Sol sono consonanti in modo naturale, è nata l’armonia moderna. Ma i guai non sono ancora finiti.
...musica a computer: veloce riflessione
Mi collego al discorso precedente con una considerazione sui suoni midi di 128 strumenti.
Il computer è uno strumento matematico creato dall’uomo per velocizzare, incrementare, migliorare, diffondere progresso. Cosa lo lega alla composizione musicale?
La macchina, assume identità e si sostituisce all’uomo?
No, qui ritorniamo al senso del limite cui si spinge la ricerca umana!
Una composizione suonata dal vivo, è un insieme di onde sonore che si intersecano creando effetti più o meno gradevoli, ma che sono suscettibili di tanti fattori, variabili non prevedibili e dominabili (riferita ad una corda penso alla posizione della mano che imprime il colore, carattere, il tocco, la diversa pressione, certi effetti come il vibrato, il glissato, l’effetto “eco”……).
Variabili non matematiche!
La musica sintetizzata, quella “fatta a computer”cerca di riprodurre in mono scientifico, empirico ciò che è “naturale”. Cerca di riprodurre perfettamente le caratteristiche dei suoni attraverso un linguaggio matematico. La musica a computer permette di riprodurre all’infinito e senza errori un suono…ma questo è anche il suo limite…Non tutte le variabili sono riproducibili (o lo sono a prezzo della creazione di file o programmi molto elaborati); e l’effetto è quello di ottenere un suono “vuoto”, "perfetto", ideale ma statico, senza “vita”.
La strada in questo campo ha un ampio orizzonte di sviluppo!
Il computer è uno strumento matematico creato dall’uomo per velocizzare, incrementare, migliorare, diffondere progresso. Cosa lo lega alla composizione musicale?
La macchina, assume identità e si sostituisce all’uomo?
No, qui ritorniamo al senso del limite cui si spinge la ricerca umana!
Una composizione suonata dal vivo, è un insieme di onde sonore che si intersecano creando effetti più o meno gradevoli, ma che sono suscettibili di tanti fattori, variabili non prevedibili e dominabili (riferita ad una corda penso alla posizione della mano che imprime il colore, carattere, il tocco, la diversa pressione, certi effetti come il vibrato, il glissato, l’effetto “eco”……).
Variabili non matematiche!
La musica sintetizzata, quella “fatta a computer”cerca di riprodurre in mono scientifico, empirico ciò che è “naturale”. Cerca di riprodurre perfettamente le caratteristiche dei suoni attraverso un linguaggio matematico. La musica a computer permette di riprodurre all’infinito e senza errori un suono…ma questo è anche il suo limite…Non tutte le variabili sono riproducibili (o lo sono a prezzo della creazione di file o programmi molto elaborati); e l’effetto è quello di ottenere un suono “vuoto”, "perfetto", ideale ma statico, senza “vita”.
La strada in questo campo ha un ampio orizzonte di sviluppo!
DIO ESISTE
Da quando ho iniziato a concepire l’argomento del mio blog, più entro nel discorso, più sento come “vera” un’ idea che vorrei esprimere. E’ una riflessione PERSONALE che non mi illudo sia condivisa, vista l’astrattezza e forse la forzatura...
Sostanzialmente “sono partita da” e sto affrontando il rapporto matematica – musica nella storia, per arrivare alla dimostrazione dell’esistenza di Dio…e per affrontare questo percorso non a caso, ho fatto l’intervista (richiesta da una prova dell’esame) al gestore del mio asilo, Don Igino.
Sembrerà più una dissertazione filosofico – teologica! ma ecco in cosa si esplicita:
Penso, che tutti gli esseri umani possiedano in sé, in potenza, un universale ed uniforme “sentire”; quello che ci fa essere consapevoli che esiste il bello, il perfetto, l’armonia, il benessere, la bellezza. Nasciamo con queste idee, le abbiamo indipendentemente da noi, come un dono soprannaturale, inspiegabile. Queste “idealità” rappresentano un pezzetto di quel principio originario che spesso non riusciamo a concepire o riconoscere, ma che esiste necessariamente, fonte di ogni cosa e che io chiamo Dio.
Possedendone un pezzetto, ne viviamo l’essenza, ma in potenza. Sappiamo riconoscere la “perfezione” nelle cose e cerchiamo di riprodurla per sentirci realizzati, in comunione con la vita e provare un senso di armonia. Potenzialmente tutti ne partecipiamo in egual misura, ma per quanto riguarda la realizzazione effettiva, in realtà, tutti siamo diversi, c’è chi riesce ad esprimere l’essenza che è sé (i grandi geni di ogni disciplina umana), più di altri; probabilmente per contingenze di vita favorevoli o per aver affinato il proprio udito verso quelle massime forme di ideali.
Dunque, tutti possediamo “un pezzetto invisibile di Dio”, che cerchiamo di rendere visibile, nella vita mondana. Penso che chiunque abbia provato almeno una volta la sensazione di fare qualcosa come se “non fossimo noi a farla”…stupiti magari del nostro prodotto tanto che siamo sicuri che non saremmo più in gradi di riprodurlo…d’altronde c’è anche il detto “ l’artista non ripete”.
Chi ci spinge? E’un richiamo costante a non accontentarci, a ricercare soluzioni sempre migliori, perché sempre più in là può arrivare la perfezione di ciò che realizziamo.
Penso a Michelangelo…che ha forzato le capacità umane fino ad un limite altissimo di perfezione…eppure anche lui alla fine della vita si è reso conto della sfida che incombe sull’uomo e che lo rende sempre insoddisfatto. Di fronte al Mosè dice “Perché non parli?”…queste parole fanno comprendere il senso di questa esasperata ricerca.
Possediamo un senso così alto di quelle idealità, che la nostra ricerca si dimostra infinita!
Se l’uomo potesse realizzare la perfezione ultima sarebbe Dio! Invece può solo cercare di raggiungerlo e non può farne a meno! ( che sia la metafora di Adamo ed Eva?)
Dunque possediamo un “pezzetto” di soprannaturale, che ci richiama costantemente…ed ognuno è libero di ascoltarlo ed esprimerlo con diversa intensità in ogni cosa che compie, in ogni lavoro, in ogni produzione umana. Forse parlare di artisti, geni, matematici rende il discorso più comprensibile, perché queste persone palesemente fanno di questa ricerca di infinito e di “perfezione” il senso della propria vita.
Dio, non si esprime nella nostra contingenza carnale, nel nostro corpo ma in una cosa più evanescente, che non si vede nella nostra sostanza, che identifico nel cuore e nell’intelligenza. Quella per me è la sua sede. Questa tensione verso l’infinito, si esprime in qualche modo concretamente, attraverso il nostro corpo, le mani, il cervello e gli altri strumenti corporei e le nostre produzioni…che possono essere opere d’arte o formule matematiche, dimostrazioni fisiche o intuizioni scientifiche. Parlo di matematici, artisti…mi riferisco alla matematica ed alla musica perché sono l’argomento del blog…ma tutti…anche il tecnico delle caldaie, un costruttore, un idraulico… può vivere queste sensazioni…perché tutti potenzialmente ed in modo uniforme possediamo la stessa quantità di DIO.
La tensione che viviamo ci fa ricercare, produrre, impegnare e sudare fino alla pazzia per quale risultato?Noi “non siamo Dio”!
Quando penso a tutta la storia dell’uomo la vedo come un’enorme continua ricerca in cui l’uomo ha imparato sempre più cose, e le ha stratifica. Il fatto che la ricerca venga sfruttata in modo conveniente all’umanità, è un discorso a parte…io mi riferisco solo in modo oggettivo al continuo avanzamento di studi, indipendente dal rapporto con l’etica…Cioè che è stato scoperto e dimostrato o confutato dei predecessori, è la base su cui si procede…gli scienziati non ri-dimostrano la verità già posseduta, vanno avanti all’infinito in questa continua ricerca… di onnipotenza. E questo sentire è più forte dei limiti che forse dovremmo porci…Penso che le scoperte scientifiche siano la massima realizzazione di questa sfida che vive, consapevolmente ed inconsapevolmente l’uomo, e di cui è anche “vittima” (perché possedendo una parte di perfezione, non riesce a farne a meno, vi tende e vorrebbe viverla ora...). Più la fisica, la chimica, le formule matematiche, le dimostrazioni entrano nella materia, la spiegano, la riproducono e la padroneggiano più migliorano gli strumenti che ci permettono di esprimerci…di realizzare la perfezione. Più la costruzione di uno strumento è curata e segue le leggi della composizione della materia e della fisica più lo strumentista riesce a esprimere meglio la sua ultima essenza; più le tecniche di costruzione della case sono studiate e perfezionate più l’abitazione risulta meglio abitabile; più spieghiamo come e perché le cose succedono più possiamo padroneggiarle e avvicinarci a quel senso di onnipotenza e di massima realizzazione che sembra appagarci.
La scienza è alla base di tutte le possibilità offerte da ogni arte e mestiere…ma è anche fonte di illusione perché noi “non siamo Dio” la scienza e la matematica ci danno formule certe, sicurezze ma la ricerca a cui siamo destinati è infinita!
……
Sostanzialmente “sono partita da” e sto affrontando il rapporto matematica – musica nella storia, per arrivare alla dimostrazione dell’esistenza di Dio…e per affrontare questo percorso non a caso, ho fatto l’intervista (richiesta da una prova dell’esame) al gestore del mio asilo, Don Igino.
Sembrerà più una dissertazione filosofico – teologica! ma ecco in cosa si esplicita:
Penso, che tutti gli esseri umani possiedano in sé, in potenza, un universale ed uniforme “sentire”; quello che ci fa essere consapevoli che esiste il bello, il perfetto, l’armonia, il benessere, la bellezza. Nasciamo con queste idee, le abbiamo indipendentemente da noi, come un dono soprannaturale, inspiegabile. Queste “idealità” rappresentano un pezzetto di quel principio originario che spesso non riusciamo a concepire o riconoscere, ma che esiste necessariamente, fonte di ogni cosa e che io chiamo Dio.
Possedendone un pezzetto, ne viviamo l’essenza, ma in potenza. Sappiamo riconoscere la “perfezione” nelle cose e cerchiamo di riprodurla per sentirci realizzati, in comunione con la vita e provare un senso di armonia. Potenzialmente tutti ne partecipiamo in egual misura, ma per quanto riguarda la realizzazione effettiva, in realtà, tutti siamo diversi, c’è chi riesce ad esprimere l’essenza che è sé (i grandi geni di ogni disciplina umana), più di altri; probabilmente per contingenze di vita favorevoli o per aver affinato il proprio udito verso quelle massime forme di ideali.
Dunque, tutti possediamo “un pezzetto invisibile di Dio”, che cerchiamo di rendere visibile, nella vita mondana. Penso che chiunque abbia provato almeno una volta la sensazione di fare qualcosa come se “non fossimo noi a farla”…stupiti magari del nostro prodotto tanto che siamo sicuri che non saremmo più in gradi di riprodurlo…d’altronde c’è anche il detto “ l’artista non ripete”.
Chi ci spinge? E’un richiamo costante a non accontentarci, a ricercare soluzioni sempre migliori, perché sempre più in là può arrivare la perfezione di ciò che realizziamo.
Penso a Michelangelo…che ha forzato le capacità umane fino ad un limite altissimo di perfezione…eppure anche lui alla fine della vita si è reso conto della sfida che incombe sull’uomo e che lo rende sempre insoddisfatto. Di fronte al Mosè dice “Perché non parli?”…queste parole fanno comprendere il senso di questa esasperata ricerca.
Possediamo un senso così alto di quelle idealità, che la nostra ricerca si dimostra infinita!
Se l’uomo potesse realizzare la perfezione ultima sarebbe Dio! Invece può solo cercare di raggiungerlo e non può farne a meno! ( che sia la metafora di Adamo ed Eva?)
Dunque possediamo un “pezzetto” di soprannaturale, che ci richiama costantemente…ed ognuno è libero di ascoltarlo ed esprimerlo con diversa intensità in ogni cosa che compie, in ogni lavoro, in ogni produzione umana. Forse parlare di artisti, geni, matematici rende il discorso più comprensibile, perché queste persone palesemente fanno di questa ricerca di infinito e di “perfezione” il senso della propria vita.
Dio, non si esprime nella nostra contingenza carnale, nel nostro corpo ma in una cosa più evanescente, che non si vede nella nostra sostanza, che identifico nel cuore e nell’intelligenza. Quella per me è la sua sede. Questa tensione verso l’infinito, si esprime in qualche modo concretamente, attraverso il nostro corpo, le mani, il cervello e gli altri strumenti corporei e le nostre produzioni…che possono essere opere d’arte o formule matematiche, dimostrazioni fisiche o intuizioni scientifiche. Parlo di matematici, artisti…mi riferisco alla matematica ed alla musica perché sono l’argomento del blog…ma tutti…anche il tecnico delle caldaie, un costruttore, un idraulico… può vivere queste sensazioni…perché tutti potenzialmente ed in modo uniforme possediamo la stessa quantità di DIO.
La tensione che viviamo ci fa ricercare, produrre, impegnare e sudare fino alla pazzia per quale risultato?Noi “non siamo Dio”!
Quando penso a tutta la storia dell’uomo la vedo come un’enorme continua ricerca in cui l’uomo ha imparato sempre più cose, e le ha stratifica. Il fatto che la ricerca venga sfruttata in modo conveniente all’umanità, è un discorso a parte…io mi riferisco solo in modo oggettivo al continuo avanzamento di studi, indipendente dal rapporto con l’etica…Cioè che è stato scoperto e dimostrato o confutato dei predecessori, è la base su cui si procede…gli scienziati non ri-dimostrano la verità già posseduta, vanno avanti all’infinito in questa continua ricerca… di onnipotenza. E questo sentire è più forte dei limiti che forse dovremmo porci…Penso che le scoperte scientifiche siano la massima realizzazione di questa sfida che vive, consapevolmente ed inconsapevolmente l’uomo, e di cui è anche “vittima” (perché possedendo una parte di perfezione, non riesce a farne a meno, vi tende e vorrebbe viverla ora...). Più la fisica, la chimica, le formule matematiche, le dimostrazioni entrano nella materia, la spiegano, la riproducono e la padroneggiano più migliorano gli strumenti che ci permettono di esprimerci…di realizzare la perfezione. Più la costruzione di uno strumento è curata e segue le leggi della composizione della materia e della fisica più lo strumentista riesce a esprimere meglio la sua ultima essenza; più le tecniche di costruzione della case sono studiate e perfezionate più l’abitazione risulta meglio abitabile; più spieghiamo come e perché le cose succedono più possiamo padroneggiarle e avvicinarci a quel senso di onnipotenza e di massima realizzazione che sembra appagarci.
La scienza è alla base di tutte le possibilità offerte da ogni arte e mestiere…ma è anche fonte di illusione perché noi “non siamo Dio” la scienza e la matematica ci danno formule certe, sicurezze ma la ricerca a cui siamo destinati è infinita!
……
venerdì 9 maggio 2008
La teoria di Pitagora messa in crisi?
Gli organici si fanno più massicci e per accordare gli strumenti, ad esempio i fiati o l’organo, con l’orchestra, diventa necessario trovare suoni fissi.
Accordare gli strumenti tramite il ciclo delle quinte crea una difficoltà, in quanto la divisione frazionaria non si sovrappone perfettamente ad una divisione che, di principio, dovrebbe utilizzare dei radicali. Infatti la divisione dell'ottava in dodici semitoni uguali prevede appunto che ogni semitono sia dato dalla radice dodicesima della lunghezza della corda che, percossa, suona la nota fondamentale. Possiamo quindi riassumere la difficoltà tecnica in due punti.
Mantenendo i rapporti pitagorici corretti secondo lo schema frazionario è impossibile accordare uno strumento a toni fissi. Per esempio, se manteniamo per la quinta il rapporto 2/3, arriviamo – alla fine del ciclo – ad avere una piccola differenza tra due suoni che dovrebbero essere uguali.
Tramite un'“ascesa” di 7 ottave non otteniamo la stessa cosa di un'“ascesa” di 12 ed invece i suoni dovrebbero essere uguali.
Questo problema impedirà per parecchio tempo, la cosiddetta necessità di “temperare” il suono. Infatti c’è la grande opposizione di origine pitagorica e greca.
Le conoscenze matematiche, erano già sufficienti per realizzare il “temperamento equabile”, ma vi erano opposizioni di principio. Infatti erano per esempio ammessi solo certi suoni, quelli consonanti, ma il criterio di valutazione dell'ammissibilità dei suoni non era funzione di una considerazione estetica, ma aritmologica. I suoni sono “consonanti” non in sé, ma perché tessuti da un'architettura matematica. Infatti non possono essere accettate né frazioni troppo complesse né, ancora peggio, numeri irrazionali esprimenti il temperamento eguale.
Numerosi matematici e fisici avevano spiegato come si poteva temperare la scala, mediante aggiustamenti per i quali i rapporti matematici puri erano sì alterati, ma la correzione era talmente infima da non inficiare la percezione auditiva.
C’è resistenza perchè l'impiego del temperamento eguale introduce l'utilizzo di numeri irrazionali (inaccettabili presso i pitagorici), e perchè era impossibile rappresentare sul monocordo l'esattezza del semitono.
D'altra parte, la divisione in due del tono (1 tono = 2 semitorni) era per definizione uguale alla radice di 8/9.
E' una cosa vecchia, d'altra parte non è storicamente ben chiaro se la più radicale querelle pitagorica concernesse questo problema o la diagonale del quadrato di lato 1, come la tradizione più diffusa ci ha tramandato. Di certo il problema del semitono era più importante – per i contemporanei e per i primi discepoli di Pitagora – di quello della diagonale del quadrato. Qual è la corda lunga v2? Per non parlare poi della radice 12 a di 2.
Questo sistema vanifica l'approccio semplice che l'idea pitagorica sottendeva.
Diventa necessaria una riconsiderazione filosofica di tutto l'impianto concettuale e, in certo modo, questo si può ottenere solo a prezzo di un critica delle basi teoriche del pitagorismo. Querelle di tipo accademico, il dibattito fu molto importante.
D'altra parte – trascurato per quasi 1500 anni – si fa di nuovo strada l'idea di Aristosseno che prima abbiamo qualificato come più o meno vincolata a criteri estetici strettamente connessi alla musica stessa. In questo senso si ha la figura di Vincenzo Galilei.
Accordare gli strumenti tramite il ciclo delle quinte crea una difficoltà, in quanto la divisione frazionaria non si sovrappone perfettamente ad una divisione che, di principio, dovrebbe utilizzare dei radicali. Infatti la divisione dell'ottava in dodici semitoni uguali prevede appunto che ogni semitono sia dato dalla radice dodicesima della lunghezza della corda che, percossa, suona la nota fondamentale. Possiamo quindi riassumere la difficoltà tecnica in due punti.
Mantenendo i rapporti pitagorici corretti secondo lo schema frazionario è impossibile accordare uno strumento a toni fissi. Per esempio, se manteniamo per la quinta il rapporto 2/3, arriviamo – alla fine del ciclo – ad avere una piccola differenza tra due suoni che dovrebbero essere uguali.
Tramite un'“ascesa” di 7 ottave non otteniamo la stessa cosa di un'“ascesa” di 12 ed invece i suoni dovrebbero essere uguali.
Questo problema impedirà per parecchio tempo, la cosiddetta necessità di “temperare” il suono. Infatti c’è la grande opposizione di origine pitagorica e greca.
Le conoscenze matematiche, erano già sufficienti per realizzare il “temperamento equabile”, ma vi erano opposizioni di principio. Infatti erano per esempio ammessi solo certi suoni, quelli consonanti, ma il criterio di valutazione dell'ammissibilità dei suoni non era funzione di una considerazione estetica, ma aritmologica. I suoni sono “consonanti” non in sé, ma perché tessuti da un'architettura matematica. Infatti non possono essere accettate né frazioni troppo complesse né, ancora peggio, numeri irrazionali esprimenti il temperamento eguale.
Numerosi matematici e fisici avevano spiegato come si poteva temperare la scala, mediante aggiustamenti per i quali i rapporti matematici puri erano sì alterati, ma la correzione era talmente infima da non inficiare la percezione auditiva.
C’è resistenza perchè l'impiego del temperamento eguale introduce l'utilizzo di numeri irrazionali (inaccettabili presso i pitagorici), e perchè era impossibile rappresentare sul monocordo l'esattezza del semitono.
D'altra parte, la divisione in due del tono (1 tono = 2 semitorni) era per definizione uguale alla radice di 8/9.
E' una cosa vecchia, d'altra parte non è storicamente ben chiaro se la più radicale querelle pitagorica concernesse questo problema o la diagonale del quadrato di lato 1, come la tradizione più diffusa ci ha tramandato. Di certo il problema del semitono era più importante – per i contemporanei e per i primi discepoli di Pitagora – di quello della diagonale del quadrato. Qual è la corda lunga v2? Per non parlare poi della radice 12 a di 2.
Questo sistema vanifica l'approccio semplice che l'idea pitagorica sottendeva.
Diventa necessaria una riconsiderazione filosofica di tutto l'impianto concettuale e, in certo modo, questo si può ottenere solo a prezzo di un critica delle basi teoriche del pitagorismo. Querelle di tipo accademico, il dibattito fu molto importante.
D'altra parte – trascurato per quasi 1500 anni – si fa di nuovo strada l'idea di Aristosseno che prima abbiamo qualificato come più o meno vincolata a criteri estetici strettamente connessi alla musica stessa. In questo senso si ha la figura di Vincenzo Galilei.
giovedì 8 maggio 2008
Jean Philippe Rameau
« La musica è una scienza che deve avere regole certe: queste devono essere estratte da un principio evidente, che non può essere conosciuto senza l'aiuto della matematica. Devo ammettere che, nonostante tutta l'esperienza che ho potuto acquisire con una lunga pratica musicale, è solo con l'aiuto della matematica che le mie idee si sono sistemate, e che la luce ne ha dissipato le oscurità »
(Jean-Philippe Rameau, Trattato dell'armonia ridotto ai suoi principi fondamentali (1722))
(Jean-Philippe Rameau, Trattato dell'armonia ridotto ai suoi principi fondamentali (1722))
FUGA: se questa non è GEOMETRIA?!?
Il grande periodo della fuga è nella seconda metà del Barocco.
E’ spesso legata al Preludio,ma vive anche di vita propria…fino al 1750, però, fino alla morte di Bach. Dopo di lui le fughe verranno inserite in altre forme e perderanno la caratteristica di forma autonoma.
Avrà molta fortuna nel 1900 a partire dalla scuola di Vienna: Berg, Stravinski, Schoenberg.
E’ una forma musicale contrappuntistica, una delle più importanti e complesse nella storia della polifonia occidentale. Nel 1300 era basata essenzialmente sull’imitazione ed il canone…poi si consolida ed assume la sua forma classica nel 1600.
Era una forma strumentale ed era caratterizzata da un rigoroso tematismo (adozione di un solo tema, chiamato soggetto, per l’intera composizione) oltre che da norme tecniche particolari che la emancipano dalla modalità e la vincolano alla tonalità.
La struttura è tripartita: esposizione, divertimento o svolgimento e stretto.
Nell’esposizione, le singole voci (cioè le parti strumentali o vocali, che sono due o più) intervengono una dopo l’altra, presentando a loro volta il soggetto, non appena la precedente ha finito di esporlo. Il soggetto, enunciato dalla prima voce alla tonica, viene imitato (cioè ripreso) dalla seconda voce nella tonalità della dominante (se il soggetto, ad es. è in DO, l’imitazione sarà in SOL). Tale imitazione è detta “risposta”. Dopo la risposta, una terza voce può aggiungersi riproducendo di nuovo il soggetto nella tonalità di impianto (tonica); quindi una 4a voce, di nuovo con la risposta alla dominante, e così di seguito alternatamente, sino ad esaurire tutte le voci previste. Il disegno melodico del soggetto può conservare inalterati i suoi interavalli nella risposta: in tal caso la risposta e la fuga stessa si dicono “reali”.
Altre volte, si rende invece necessaria nella risposta, la modificazione, chiamata “mutazione”, di uno o più intervalli del disegno del tema originale, per consentire il ritorno dalla tonalità della dominante (quello della risposta) alla tonalità d’impianto (cioè quella del soggetto), le quali stanno in rapporto di 4° ascendente (ad es. da sol a do), mentre il rapporto inverso di tonalità fra soggetto e risposta era stato prima di quinta ascendente (da do a sol); se avviene la mutazione, risposta e f. si dicono allora tonali. Una voce dopo aver formulato un soggetto o una risposta, può talvolta proseguire con un breve e libero frammento, denominato “coda”, prima che attacchi la voce seguente con la relativa imitazione. Altro elemento caratteristico dell’esposizione di fuga è il “controsoggetto”, elemento tematico secondario, intonato dalla voce che ha già proposto il tema fondamentale, contemporaneamente alla imitazione di questo da parte della voce subentrante.
Lo svolgimento è costituito da un alternarsi diparti chiamate “divertimenti” (o episodi) e di “riesposizioni” in numero variabile. Nei primi, si applicano liberamente i molteplici procedimenti propri dell’imitazione, utilizzando il materiale tematico dell’esposizione o altro transitoriamente enucleato, e modulando a tonalità diverse. Nelle seconde si ripresenta in differenti tonalità, ma più in succinto, il gioco imitativo di soggetto e risposta dell’inizio.
Il termine “stretto” designa globalmente la parte finale della fuga. Consiste in una serie di riprese, nella tonalità fondamentale, delle imitazioni fra soggetto e risposta (riprese chiamate a loro volta “primo, secondo, terzo stretto” e così via); diversamente che nell’esposizione, nello stretto le voci subentrano una a ridosso dell’altra a distanza ogni volta più ravvicinata, senza attendere che la precedente abbia concluso l’intero tema (il quale può essere limitato al suo inizio)
IL VERTICE ESPRESSIVO IN BACH
La fuga toccò il suo apogeo nell’opera di Bach che ne fece anche la forma più alta dell’epoca barocca. Il sommo compositore seppe far coincidere le leggi della tonalità (cui diede un impulso determinante) con i principi stessi della fuga, in tal modo costruì un organismo architettonico di un rigore assoluto, in cui l’uso di tutti i ritrovati della scienza contrappuntistica è intrinseco all’ideazione del materiale tematico.
DECLINO nel secondo 1700
Antitetica per definizione, allo spirito della musica omofonica, fiorita all’inizio del 1700, la fuga fu scarsamente coltivata dai compositori successivi a Bach, benché Mozart ne abbia dato esempi ragguardevoli, e Beethoven recuperò genialmente lo spirito della fuga in composizioni subordinate a diversi criteri formali così che i suoi pezzi in questa forma non costituiscono ritorni classicheggianti ma tentativi fecondi di giungere ad un’avanzata sintesi di vari modi di scrittura.
Brahms invece, nonostante, fosse un grande maestro del contrappunto, non fece quasi mai ricorso alla fuga, perché la ritenne troppo legata al pensiero compositivo del passato.
E’ spesso legata al Preludio,ma vive anche di vita propria…fino al 1750, però, fino alla morte di Bach. Dopo di lui le fughe verranno inserite in altre forme e perderanno la caratteristica di forma autonoma.
Avrà molta fortuna nel 1900 a partire dalla scuola di Vienna: Berg, Stravinski, Schoenberg.
E’ una forma musicale contrappuntistica, una delle più importanti e complesse nella storia della polifonia occidentale. Nel 1300 era basata essenzialmente sull’imitazione ed il canone…poi si consolida ed assume la sua forma classica nel 1600.
Era una forma strumentale ed era caratterizzata da un rigoroso tematismo (adozione di un solo tema, chiamato soggetto, per l’intera composizione) oltre che da norme tecniche particolari che la emancipano dalla modalità e la vincolano alla tonalità.
La struttura è tripartita: esposizione, divertimento o svolgimento e stretto.
Nell’esposizione, le singole voci (cioè le parti strumentali o vocali, che sono due o più) intervengono una dopo l’altra, presentando a loro volta il soggetto, non appena la precedente ha finito di esporlo. Il soggetto, enunciato dalla prima voce alla tonica, viene imitato (cioè ripreso) dalla seconda voce nella tonalità della dominante (se il soggetto, ad es. è in DO, l’imitazione sarà in SOL). Tale imitazione è detta “risposta”. Dopo la risposta, una terza voce può aggiungersi riproducendo di nuovo il soggetto nella tonalità di impianto (tonica); quindi una 4a voce, di nuovo con la risposta alla dominante, e così di seguito alternatamente, sino ad esaurire tutte le voci previste. Il disegno melodico del soggetto può conservare inalterati i suoi interavalli nella risposta: in tal caso la risposta e la fuga stessa si dicono “reali”.
Altre volte, si rende invece necessaria nella risposta, la modificazione, chiamata “mutazione”, di uno o più intervalli del disegno del tema originale, per consentire il ritorno dalla tonalità della dominante (quello della risposta) alla tonalità d’impianto (cioè quella del soggetto), le quali stanno in rapporto di 4° ascendente (ad es. da sol a do), mentre il rapporto inverso di tonalità fra soggetto e risposta era stato prima di quinta ascendente (da do a sol); se avviene la mutazione, risposta e f. si dicono allora tonali. Una voce dopo aver formulato un soggetto o una risposta, può talvolta proseguire con un breve e libero frammento, denominato “coda”, prima che attacchi la voce seguente con la relativa imitazione. Altro elemento caratteristico dell’esposizione di fuga è il “controsoggetto”, elemento tematico secondario, intonato dalla voce che ha già proposto il tema fondamentale, contemporaneamente alla imitazione di questo da parte della voce subentrante.
Lo svolgimento è costituito da un alternarsi diparti chiamate “divertimenti” (o episodi) e di “riesposizioni” in numero variabile. Nei primi, si applicano liberamente i molteplici procedimenti propri dell’imitazione, utilizzando il materiale tematico dell’esposizione o altro transitoriamente enucleato, e modulando a tonalità diverse. Nelle seconde si ripresenta in differenti tonalità, ma più in succinto, il gioco imitativo di soggetto e risposta dell’inizio.
Il termine “stretto” designa globalmente la parte finale della fuga. Consiste in una serie di riprese, nella tonalità fondamentale, delle imitazioni fra soggetto e risposta (riprese chiamate a loro volta “primo, secondo, terzo stretto” e così via); diversamente che nell’esposizione, nello stretto le voci subentrano una a ridosso dell’altra a distanza ogni volta più ravvicinata, senza attendere che la precedente abbia concluso l’intero tema (il quale può essere limitato al suo inizio)
IL VERTICE ESPRESSIVO IN BACH
La fuga toccò il suo apogeo nell’opera di Bach che ne fece anche la forma più alta dell’epoca barocca. Il sommo compositore seppe far coincidere le leggi della tonalità (cui diede un impulso determinante) con i principi stessi della fuga, in tal modo costruì un organismo architettonico di un rigore assoluto, in cui l’uso di tutti i ritrovati della scienza contrappuntistica è intrinseco all’ideazione del materiale tematico.
DECLINO nel secondo 1700
Antitetica per definizione, allo spirito della musica omofonica, fiorita all’inizio del 1700, la fuga fu scarsamente coltivata dai compositori successivi a Bach, benché Mozart ne abbia dato esempi ragguardevoli, e Beethoven recuperò genialmente lo spirito della fuga in composizioni subordinate a diversi criteri formali così che i suoi pezzi in questa forma non costituiscono ritorni classicheggianti ma tentativi fecondi di giungere ad un’avanzata sintesi di vari modi di scrittura.
Brahms invece, nonostante, fosse un grande maestro del contrappunto, non fece quasi mai ricorso alla fuga, perché la ritenne troppo legata al pensiero compositivo del passato.
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